DESCRIÇÃO
A experiência dos autores em cursos ministrados no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) e na Universidade de Brasília permitiram a escrita e concretização deste livro. Os cinco primeiros capítulos introduzem os tópicos de análise de Fourier clássicos e modernos, que são fundamentais ao estudo das equações diferenciais parciais. Essa parte pode ser usada em um curso no final da graduação ou no início do mestrado.
Os demais capítulos são mais avançados. Neles são vistos a generalização e extensão de ideias introduzidas para domínios de Rn. Apresenta-se um tratamento relativamente extenso do problema de autovalores para o laplaciano em domínios limitados de Rn através do método de equações integrais. São debatidos ainda a alternativa de Fredholm, o teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos e a teoria das integrais de Fourier em Rn. Os tópicos que são acompanhados de vários problemas e informações adicionais estão nos exercícios.
CONTEÚDO
I Preliminares
1 Definições Básicas
2 Classificação em Tipos
3 Condições de Contorno e de Valores Iniciais
4 Exercícios
II O Método de Separação de Variáveis
1 O Problema de Condução de Calor em uma Barra
2 Outros Exemplos e Comentários
3 Exercícios
III Séries de Fourier: Teoria Básica
1 Espaços Vetoriais Normados
2 Séries de Fourier
3 Interpretação Geométrica
4 Propriedades de Decaimento de f̂
5 Convergência Pontual
6 Os Núcleos de Féjer, Poisson e Dirichlet
7 Aplicações
8 O problema de Dirichlet no Disco Unitário
9 Exercícios
IV Séries de Fourier: Distribuições Periódicas e Aplicações
1 Funções Periódicas de Classe C∞
2 Distribuições Periódicas
3 Séries de Fourier em P’
4 A convolução em P’
5 O Espaço L2 ([-π, π])
6 O Operador D2 em L2 ([-π, π])
7 Aplicações
8 Exercícios
V A Transformada de Fourier na Reta
1 A Equação do Calor Ataca Outra vez
2 A Transformada de Fourier na Reta
3 A Transformada de Fourier no Espaço de Schwartz
4 Aproximação por Convolução
5 Distribuições Temperadas
6 O Espaço L2(R)
7 O Operador (-d2/dx2) em L2 (R)
8 Exercícios
VI Elementos de Análise Funcional
1 Operadores Limitados e Operadores Compactos
2 Os Espaços Lp (X, M, μ)
3 A Alternativa de Fredholm
4 O Teorema Espectral
5 Exercícios
VII Um Problema de Auto-Valores para o Laplaciano
1 Preliminares
2 As Identidades de Green
3 O Princípio do Máximo para Funções Harmônicas
4 A Função de Green
5 Propriedades da Função de Green
6 O Problema de Auto-Valores
7 Exercícios
VIII O Problema de Dirichlet Clássico
1 Potenciais de Camada Simples e Dupla
2 A Solução do Problema de Dirichlet Clássico
3 Exercícios
IX A Transformada de Fourier em Rn
1 A Transformada de Fourier em L1(Rn)
2 A Transformada de Fourier no Espaço de Schwartz
3 A Transformada de Fourier em L2 (Rn)
4 O Laplaciano em L2 (Rn)
5 Distribuições Temperadas
6 Um Parêntese Topológico
7 A Derivada e a Transformada de Fourier em S’ (Rn)
8 Os Espaços de Sobolev em Rn
9 Convoluções, Soluções Fundamentais
10 Exercícios
Referências
Índice Remissivo
SOBRE OS AUTORES
Rafael Iório Júnior
Rafael recebeu seu Ph.D. da Universidade da Califórnia em Berkeley, foi professor da PUC-Rio e é, atualmente, pesquisador titular do IMPA. Suas áreas de interesse são Equações de Evolução e Teoria de Espalhamento.
Valéria de Magalhães Iório
Valéria recebeu seu Ph.D. da Universidade da Califórnia em Berkeley, foi professora da PUC-Rio e aposentou-se pela UERJ. Atualmente leciona no UNIFESO em Teresópolis, RJ.
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