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Equações Diferenciais Aplicadas

Equações Diferenciais Aplicadas
Autor :
Páginas : 307
Publicação : IMPA, 2015
ISBN: 978-85-7028-014-5
3ª edição

É uma introdução às Equações Diferenciais Ordinárias, dirigida a alunos de graduação da área de Ciências Exatas. Os conceitos matemáticos são introduzidos de maneira cuidadosa seguidos de um grande número de aplicações. As aplicações contemplam duas atitudes extremamente importantes: a resolução das equações diferenciais, mostrando a força da teoria, e a interpretação detalhada das soluções obtidas.

O texto expõe o assunto de maneira gradativa, contém métodos elementares de obtenção de soluções, tópicos selecionados sobre a teoria básica das Equações Diferenciais, e técnicas utilizadas na descrição do espaço das configurações e no comportamento assintótico das soluções.

Descrição

Pergunta: Diz-se que todo livro tem uma mensagem. Qual foi a motivação para escrever o texto “Equações Diferenciais Aplicadas”?

Resposta: A grande relevância da Matemática jaz no fato de que, além de sua vida própria como ciência, com suas teorias e seus problemas, ela tem a característica ímpar de poder penetrar, como uma arma importante e, às vezes, imprescindível em muitos outros ramos do conhecimento humano. Não devemos esquecer esse fato, quando realizamos nosso trabalho, como professor ou como pesquisador. Ao ensinar Matemática para alunos de outras áreas é essencial motivar, mostrando-lhes a importância do que estão aprendendo para os problemas de suas especialidades. Aos alunos de Matemática é educativo mostrar-lhes uma Matemática rica de aplicações, contar-lhes que as raízes de tantas teorias matemáticas estão em problemas da natureza. Através dessas raízes, veio a força que propulsionou o notável crescimento de grande parte da Matemática no passado. Ninguém ignora o trabalho de Newton, Leibniz e outros na criação e desenvolvimento do Cálculo, pari passu com a Mecânica e outros ramos da Física. Mais recentemente, identificam-se características análogas nos trabalhos de Poincaré e Hilbert. Equações Diferenciais é um dos ramos da Matemática que, a nosso ver, não deve ser estudado esquecendo essas raízes.

 

Pergunta: Para que tipo de alunos o livro se destina e como ele está organizado?

Resposta: O texto é acessível a alunos de graduação da área de ciências exatas, que tenham feito um curso de um ano de Cálculo. Algumas seções podem ser omitidas num primeiro curso. Por exemplo, o teorema de Existência e Unicidade de Picard é apresentando na maneira moderna, pois cremos que, mesmo para alunos iniciantes, essa atitude é instrutiva. Entretanto, a demonstração poderia eventualmente ser considerada muito abstrata para grande parte dos alunos e consequentemente omitida.
Num primeiro curso a ênfase deve estar nas técnicas de obtenção de soluções. Portanto o curso deve ser centrado nos capítulos 2, 4 e 5, onde essas técnicas são desenvolvidas. A força dessas técnicas é sentida no estudo das aplicações. Essas aplicações podem ser escolhidas entre aquelas apresentadas nesses mesmos capítulos. Sugerimos iniciar no capítulo 2, comentar o Teorema de Existência e Unicidade do capítulo 3, desenvolver os capítulos 4 e 5, e finalizar com sistemas autônomos no plano, estudando, por exemplo, as técnicas de obtenção de soluções dos Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes, seções 6.2.1 e 7.1.2.
O livro está organizado da seguinte forma: as primeiras seções, de cada capítulo, são destinadas à descrição dos vários métodos de obtenção de soluções; segue-se a seção de exercícios; e posteriormente estão as aplicações. O texto apresenta os conceitos matemáticos de maneira cuidadosa e é bastante rico em aplicações. Contém mais aplicações do que normalmente se estuda nos cursos tradicionais, dando ao leitor e ao professor a possibilidade de escolha de acordo com os interesses da turma.
Alguns conceitos são apresentados, primeiramente, de maneira introdutória, e posteriormente, nos capítulos subsequentes, são reapresentados com mais profundidade e de forma mais completa. Por exemplo, o conceito de estabilidade é introduzido na seção 2.3, e complementado posteriormente nos capítulos 6 e 7.
Num curso mais especializado, cujos alunos já cumpriram a sequência dos curso de Cálculo, pode e deve-se complementar o curso, com ênfase mais teórica, estudando os capítulos 3, 6 e 7, e as aplicações correspondentes.

 

Pergunta: As seções do livro sobre alguns ramos da Física estão mais longas do que normalmente se encontra num livro de Matemática. Não seria melhor remeter o leitor para livros de Física?

Resposta: Essas seções foram precisamente as que nos deram mais trabalho para escrever, pois, não somos especialistas dessas áreas. Mas cremos que o esforço valeu, dado os objetivos que temos em mente.
O livro também se destina ao professor dos cursos de equações diferenciais. O tempo que ele dispõe para preparação do curso não é suficiente para estudar vários livros de Física e de outros campos do conhecimento humano. Ele poderá fazer isso, num segundo estágio, após ter tomado gosto! As nossas seções devotadas às aplicações dão àquele professor, na linguagem com a qual ele está habituado, os elementos básicos dessas outras áreas. Isso permitirá que ele fale, sem receio, a seus alunos sobre essas aplicações.

 

Pergunta: O texto é então completamente diferente dos outros de Equações Diferenciais?

Resposta: Não. Grande parte dos livros de Equações Diferenciais tem aplicações, mas, em geral, apresentadas muito concisamente, o que impossibilita o aluno de apreciar realmente o papel das equações diferenciais nos problemas. Mas é claro que há bons livros dentro do espírito do nosso texto. Os livros de G. F. Simmons, M. Braun, entre outros, influenciaram bastante nosso trabalho. Cremos que ninguém pode ter a pretensão de ser original no assunto apresentado aqui. Alguns problemas vêm do próprio Newton! A originalidade nesse tipo de trabalho reside tão somente na arrumação dos assuntos, na escolha dos problemas e no estilo próprio de comentar os resultados. Aliás, procuramos enfatizar, em todo o texto, a atitude, extremamente importante, de interpretar os resultados obtidos. Julgamos que isso é essencial. É importante resolver equações. Mas é igualmente importante interpretar as soluções obtidas.

 

Pergunta: Então, não se deve dar um curso de Equações Diferenciais com um enfoque exclusivamente matemático?

Resposta: Aqui, devemos separar os níveis e os objetivos dos cursos. Cremos que, num primeiro curso, a nível de graduação, uma grande atenção deve ser dispensada às aplicações, independentemente da futura especialização do aluno, Matemática, Física ou Engenharia. Equações Diferenciais foram criadas para resolver problemas de outras ciências. Como esquecer isso? Também não estamos defendendo que, nesse primeiro curso de Equações Diferenciais, a Matemática seja deixada em segundo plano. É essencial ter as duas coisas em igualdade de condições. Uma justifica e valoriza a outra. Em cursos mais avançados de Equações Diferenciais, a Matemática fica necessariamente mais sofisticada, e então as questões puramente matemáticas requerem tratamento elaborado e chegam a dominar a cena.

 

Pergunta: Bom, mas se o aluno vai ser pesquisador nessas Equações Diferenciais sofisticadas, qual foi a utilidade daquele primeiro curso meio aplicado?

Resposta: Via de regra, o pesquisador é um professor. E sendo professor, ele deve estar preparado para ensinar a alunos de outras áreas. Sentimos que, tendo havido uma tendência crescente de retirar os problemas de aplicação dos cursos de Equações Diferenciais (e de outros cursos de Matemática). Isso não é bom. Os nossos colegas de outras áreas reclamam e criticam essa orientação. E o que é mais grave, começam a desenvolver dentro de seus próprios departamentos a Matemática de que necessitam, retirando assim dos Departamentos de Matemática uma de suas funções precípuas.

 

Pergunta: Então, quer dizer que aqueles alunos de Matemática que não se destinam ao magistério podem prescindir desse curso?

Resposta: Não. Nossa opinião é que o pesquisador em Equações Diferenciais que conhece as aplicações pode, ocasionalmente, usar essas aplicações como uma espécie de farol para orientá-lo. Quantas vezes um resultado geral e abstrato não é descoberto após análise de um exemplo proveniente das aplicações?

 

Pergunta: Vocês, então, crêem que todo matemático deve saber aplicações? Como vocês posicionam o matemático puro dentro dessa concepção?

Resposta: Matemática é uma ciência muito extensa. Obviamente, há outras áreas, além das Equações Diferenciais. E observe, que, mesmo dentro destas, há várias linhas diferentes. Algumas delas muito distanciadas das aplicações. Tanto essas, como outros ramos da Matemática, devem se desenvolver pelos seus próprios problemas e motivações. O desenvolvimento da Matemática é marcado pelas necessidades e problemas vindos de outras ciências, mas não é determinado somente por isso. E é bom que assim o seja, pois as necessidades mudam com o tempo, e quanto mais rica for a Matemática, melhor poderá ela ajudar o homem. E assim há também muito campo para a pesquisa matemática independente das aplicações imediatas. Pode-se pensar no conhecimento matemático como uma conta no banco. As reservas podem ser usadas quando se fizerem necessárias. E isso já aconteceu no passado com vários ramos da Matemática, desenvolvidos independentemente de necessidade imediata, e que posteriormente foram usados de modo essencial em outras ciências.

 

Conteúdo

Capítulo 1. O Teorema Fundamental do Cálculo

Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem

2.1 Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem
2.2 Equações Separáveis
2.3 A Dinâmica de uma População e Noções de Estabilidade
2.4 Exercícios
2.5 Aplicações
2.5.1 Resfriamento de um corpo
2.5.2 Diluição de soluções
2.5.3 Por que uma corda enrolada num poste sustenta um barco?
2.5.4 A tractriz
2.5.5 A catenária
2.5.6 O espelho parabólico
2.5.7 As curvas de perseguição

Capítulo 3. Propriedades Gerais das Equações

3.1 Interpretação Geométrica da equações y’ = f(x,y)
3.2 Existência, Unicidade e Dependência Contínua
3.3 Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
3.4 Equações Exatas
3.4.1 Um Método prático de integração
3.4.2 Existência do fator integrante 3.5 Famílias de Curvas Planas
3.5.1 Envoltória
3.5.2 Trajetórias ortogonais

Capítulo 4. Equações Diferenciais de Segunda Ordem

4.1 Equações Lineares de Segunda Ordem
4.2 Obtenção de Soluções
4.2.1 Método de variação dos parâcirc;metros
4.2.2 Equações Lineares com coeficientes constantes homogêneas
4.2.3 Método de redução da ordem da equaçõo diferencial
4.2.4 Método dos coeficientes a determinar
4.2.5 A equaçõo de Euler-Cauchy
4.2.6 Método das séries de potências
4.2.7 Método de Frobenius 4.3 Exercícios
4.4 A Dinâmica de uma partícula
4.4.1 Queda livre de corpos
4.4.2 Queda de corpos considerando a resistência do ar
4.4.3 Movimento de projéteis
4.4.4 Movimento em planos inclinados
4.4.5 Velocidade de escape
4.4.6 Movimento de um foguete
4.4.7 Energia cinética e potencial 4.5 O Oscilador Harmônico
4.5.1 Oscilador harmônico simples
4.5.2 Oscilador harmônico amortecido
4.5.3 Oscilar forçado
4.5.4 Comentários sobre a energia do oscilador harmônico 4.6 Campos Centrais de Forças
4.6.1 Movimento central com força atrativa proporcional à distância ao centro
4.6.2 Movimento central com força atrativa inversamente proporcional ao quadrado da distância ao centro
4.6.3 Lei da Gravitação Universal
4.6.4 Leis de Kepler
4.6.5 A Lei da Gravitação Universal e as Leis de Kepler
4.6.6 A equação das órbitas dos planetas na Teoria Geral da Relatividade
4.6.7 Satélites artificiais da Terra

Capítulo 5. Transformada de Laplace

5.1 Definição da Transformada de Laplace
5.2 Propriedades da Transformada de Laplace
5.3 Produto de Transformadas e Convolução
5.3.1 Obtenção de uma solução particular de uma equação não homogênea 5.4 Exercícios
5.5 Aplicações
5.5.1 Funções descontínuas
5.5.2 Funções impulso
5.5.3 Comportamento da derivada

Capítulo 6. Sistemas Autônomos no Plano

6.1 Conseqüências do Teorema de Existência e Unicidade
6.2 Pontos de Equilíbrio ou Singularidade
6.2.1 O sistema linear
6.2.2 O sistema não linear 6.3 O Teorema de Poincaré-Bendixon
6.3.1 Conseqüências do Teorema de Poincaré-Bendixon 6.4 Usando o software Mathematica
6.5 Exercícios
6.6 Aplicações
6.6.1 O pêndulo
6.6.2 O modelo predador-presa

Capítulo 7. Sistemas de Equações Diferenciais

7.1 Sistemas Lineares de Equações Diferenciais
7.1.1 Definições e propriedades
7.1.2 Sistemas com coeficientes constantes
7.1.3 Exponencial de matrizes 7.2 Equação Adjunta e a Alternativa de Fredholm
7.3 Linearização, Estabilidade e Funções de Liapunov
7.4 Exercícios

Referências Bibliográficas

Índice

Autores

Djairo Guedes de Figueiredo

Djairo Guedes de Figueiredo, natural de Limoeiro do Norte, Ceará, é Engenheiro Civil (UFRJ, 1956), Master of Science (NYU, 1958) e Doctor of Philosophy (NYU, 1961). Por vários anos foi Professor Titular das Universidades de Illinois e Brasília. Atualmente é Professor Titular da UNICAMP. Em 1965 e 1984 foi agraciado com bolsa da Fundação Guggenheim.

É membro Titular da Academia Brasileira de Ciências, e Pesquisador 1A do CNPq desde 1985. Em 1992 foi premiado com a Bolsa de Reconhecimento Acadêmico “Zeferino Vaz”, pelo Conselho Universitário da UNICAMP e, em 1995 com a Grã Cruz da Ordem do Mérito Científico. Seu campo de pesquisa é a Teoria das Equações Diferenciais Parciais, tendo escrito várias monografias e artigos de pesquisa publicados em revistas especializadas no Brasil e no exterior.

 

Aloísio Freiria Neves

Aloísio Freiria Neves ingressou no curso de Licenciatura em Matemática da PUC motivado pela própria Matemática e pela possibilidade de aprender a resolver problemas. Fez Pós-Graduação na UNICAMP, onde obteve os graus de Mestre e de Doutor. Está ligado à UNICAMP desde 1973, época em que recebeu convite para ser Instrutor de Cálculo Diferencial Integral. Hoje é Professor Livre Docente, e tem as Equações Diferenciais Parciais de Evolução como a sua área de maior interesse e de pesquisa