DESCRIÇÃO
A parceria franco-brasileira de Yves Lequain e Arnaldo Garcia resultou na produção desta obra que é uma referência para cursos básicos de álgebra em universidades do Brasil. Eles a conceberam com base em notas de aula de um curso oferecido anualmente no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA).
O livro está estruturado em três partes e contém exercícios. A primeira serve como referência para um curso básico sobre a teoria dos anéis, com algumas aplicações na teoria dos números e na geometria algébrica. A segunda volta-se para a teoria dos grupos. E a última auxilia num curso sobre a teoria dos módulos finitamente gerados sobre domínios euclidianos, com aplicações à teoria dos operadores lineares em espaços vetoriais de dimensão finita.
Este livro tem como base o texto Álgebra: um Curso de Introdução, publicado nesta mesma Coleção, cujo texto sofreu ampla revisão e evoluiu para este novo texto.
CONTEÚDO
I DIVISÃO E FATORAÇÃO EM ANÉIS
Introdução
1 Anéis e Domínios
1.1 Definições e Exemplos
1.2 Anéis de Polinômios
1.3 Domínios Euclidianos
1.4 Homomorfismos de Anéis
1.5 Exercícios
2 Fatoração Única
2.1 Definições e Exemplos
2.2 Fatoração em Domínios Noetherianos
2.3 Fatoração Única em Anéis de Polinômios
2.4 Exercícios
3 Polinômios
3.1 Raízes e Fatores de um Polinômio
3.2 Critérios de Irredutibilidade
3.3 Resultante de dois Polinômios
3.4 Polinômios Simétricos
3.5 Teorema da Base de Hilbert
3.6 Exercícios
4 Aplicações
4.1 Somas de dois Quadrados
4.2 Soluções Inteiras de X2 + Y2 = Z2
4.3 Teorema de Bezout
4.4 Exercícios
II GRUPOS
5 Teoria Básica dos Grupos
5.1 Exemplos de Grupos
5.2 Subgrupos
5.3 Classes Laterais e Teorema de Lagrange
5.4 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes
5.5 Homomorfismos de Grupos
5.6 Grupos Cíclicos
5.7 Grupos Finitos Gerados por dois Elementos
5.8 Produto Direto de Grupos
5.9 Produto Semidireto de Grupos
5.10 Grupos de Permutações
5.11 Exercícios
6 Estudo de um Grupo via Representações por Permutações
6.1 Representação de um Grupo por Permutações
6.2 Teorema de Sylow
6.3 p-Grupos Finitos
6.4 Classificação dos Grupos Simples de Ordem ≤ 60
6.5 Classificação dos Grupos de Ordem ≤15
6.6 Propriedades de A4 e A5
6.7 Exercícios
7 Grupos Solúveis
7.1 Teorema de Jordan-Hölder
7.2 Grupos Solúveis
7.3 Exercícios
III MÓDULOS SOBRE DOMÍNIOS EUCLIDIANOS
8 Matrizes e Módulos Finitamente Gerados
8.1 Diagonalização de Matrizes
8.2 Módulos de Homomorfismos
8.3 Submódulos de um Módulo Livre
8.4 Estrutura dos Módulos Finitamente Gerados
8.5 Exercícios
9 Aplicações
9.1 Estrutura dos Grupos Abelianos Finitamente Gerados
9.2 Forma Canônica de Jordan
9.3 Exercícios
NOTAÇÃO
BIBLIOGRAFIA
ÍNDICE REMISSIVO
SOBRE OS AUTORES
Arnaldo Garcia
Natural de Valença, estado do Rio de Janeiro. Ingressou em 1970 na Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), onde cursou Engenharia Eletrônica e concluiu o bacharelado em Matemática. Obteve o grau de mestre (1976) e de doutor (1980) no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e desenvolveu sua carreira matemática integralmente nessa instituição, onde trabalha exercendo o cargo de Pesquisador Titular. Foi bolsista da fundação alemã Alexander Von Humboldt em duas ocasiões (Heidelberg/1987 e Essen/1990) e é membro titular da Academia Brasileira de Ciências desde 1998. Seus principais interesses em pesquisas matemáticas são nas áreas de Teoria de Números e Geometria Algébrica, especialmente em curvas algébricas sobre corpos finitos, havendo publicado nesses campos vários trabalhos de pesquisas.
Forte apreciador da música brasileira, especialmente do binômio samba-choro, é torcedor fervoroso da Estação Primeira de Mangueira. No futebol, um dos poucos sofredores remanescentes do América Futebol Clube do Rio de Janeiro.
Yves Lequain
É francês de Lille. Querendo descobrir o mundo e achando que, por ser universal, a matemática poderia abrir as portas das universidades de muitos países, ele escolheu de estudar matemática. Fez a graduação em Lille e a pós-graduação nos Estados Unidos, obtendo o doutorado na Universidade de Louisiana, em Baton Rouge. Veio para o Rio de Janeiro em 1970 para passar um ano; tendo descoberto o sol – desconhecido dos residentes de Lille – ficou até hoje. Realizou seu sonho de juventude aceitando convites de curta temporada em universidades de vários países. Sua área de pesquisa é Álgebra Comutativa.
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