DESCRIÇÃO
A parceria franco-brasileira de Yves Lequain e Arnaldo Garcia resultou na produção desta obra que é uma referência para cursos básicos de álgebra em universidades do Brasil. Eles a conceberam com base em notas de aula de um curso oferecido anualmente no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA).
O livro está estruturado em três partes e contém exercícios. A primeira serve como referência para um curso básico sobre a teoria dos anéis, com algumas aplicações na teoria dos números e na geometria algébrica. A segunda volta-se para a teoria dos grupos. E a última auxilia num curso sobre a teoria dos módulos finitamente gerados sobre domínios euclidianos, com aplicações à teoria dos operadores lineares em espaços vetoriais de dimensão finita.
Este livro tem como base o texto Álgebra: um Curso de Introdução, publicado nesta mesma Coleção, cujo texto sofreu ampla revisão e evoluiu para este novo texto.
CONTEÚDO
DIVISÃO E FATORAÇÃO EM ANÉIS
Introdução
CAPÍTULO I Anéis e Dominós
I.1 Definições e Exemplos
I.2 Anéis de Polinômios
I.3 Domínios Euclidianos
I.4 Homomorfismos de Anéis
I.5 Exercícios
CAPÍTULO II Fatoração Única
II. 1 Definições e Exemplos
II. 2 Fatoração em Domínios Noetherianos
II. 3 Fatoração Única em Anéis de Polinômios
II. 4 Exercícios
CAPÍTULO III Polinômios
III. 1 Raízes e Fatores de um Polinômio
III. 2 Critérios de Irredutibilidade
III. 3 Resultante de dois Polinômios
III. 4 Polinômios Simétricos
III. 5 Teorema da Base de Hilbert
III. 6 Exercícios
CAPÍTULO IV Aplicações
IV.1 Somas de dois Quadrados
IV. 2 Soluções Inteiras de X2 + Y2 = Z2
IV. 3 Teorema de Bezout
IV. 4 Exercícios
GRUPOS
CAPÍTULO V Teoria Básica dos Grupos
V.1 Exemplos de Grupos
V.2 Subgrupos
V.3 Classes Laterais e Teorema de Lagrange
V.4 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes
V.5 Homomorfismos de Grupos
V.6 Grupos Cíclicos
V.7 Grupos Finitos Gerados por dois Elementos
V.8 Produto Direto de Grupos
V.9 Produto Semidireto de Grupos
V.10 Grupos de Permutações
V.11 Exercícios
CAPÍTULO VI Estudo de um Grupo via Representações por Permutações
VI.1 Representação de um Grupo por Permutações
VI.2 Teorema de Sylow
VI.3 p-Grupos Finitos
VI.4 Classificação dos Grupos Simples de Ordem ≤ 60
VI.5 Classificação dos Grupos de Ordem ≤15
VI.6 Propriedades de A4 e A5
VI.7 Exercícios
CAPÍTULO VII Grupos Solúveis
VII.1 Teorema de Jordan-Hölder
VII.2 Grupos Solúveis
VII.3 Exercícios
MÓDULOS SOBRE DOMÍNIOS EUCLIDIANOS
CAPÍTULO VIII Matrizes e Módulos Finitamente Gerados
VIII.1 Diagonalização de Matrizes
VIII.2 Módulos de Homomorfismos
VIII.3 Submódulos de um Módulo Livre
VIII.4 Estrutura dos Módulos Finitamente Gerados
VIII.5 Exercícios
CAPÍTULO IX Aplicações
IX.1 Estrutura dos Grupos Abelianos Finitamente Gerados
IX.2 Forma Canônica de Jordan
IX.3 Exercícios
ÍNDICE
NOTAÇÕES
SOBRE OS AUTORES
Arnaldo Garcia
Nasceu em Valença, no Estado do Rio de Janeiro, em 1 de maio de 1950. Ingressou em 1970 na Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), onde cursou Engenharia Eletrônica e concluiu o bacharelado em Matemática. Obteve o grau de mestre (1976) e de doutor (1980) no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e desenvolveu sua carreira matemática integralmente nessa instituição, onde trabalha exercendo o cargo de pesquisador titular.
Foi bolsista da prestigiosa fundação alemã Alexander Von Humboldt em duas ocasiões (Heidelberg/1987 e Essen/1990) e é membro titular da Academia Brasileira de Ciências desde 1998. Seus principais interesses em pesquisas matemáticas são nas áreas de Teoria de Números e Geometria Algébrica, especialmente em curvas algébricas sobre corpos finitos, havendo publicado nesses campos vários trabalhos de pesquisa e participado ativamente em diversos simpósios nacionais e internacionais.
Forte apreciador da música brasileira, especialmente do binômio samba-choro, é torcedor fervoroso da Estação Primeira de Mangueira. No futebol, um dos poucos sofredores remanescentes do América Futebol Clube do Rio de Janeiro.
Yves Lequain
É francês de Lille, onde começou seus estudos de Matemática, que concluiu nos Estados Unidos, obtendo o doutorado na Universidade de Louisiana, em Baton Rouge. Veio para o Rio de Janeiroem 1970 para passar um ano; tendo descoberto o sol (desconhecido dos residentes de Lille). Ficou até hoje para curti-lo. Sua área de pesquisa é Álgebra Comutativa.
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