DESCRIÇÃO
O autor apresenta a linguagem de conjuntos e funções por meio de uma conceituação precisa e sistematização lógica de ideias. Seu objetivo é estudar os conjuntos de números reais e funções reais de uma variável. Os conceitos dados são ilustrados por exemplos e acompanhados de muitos exercícios com graus de dificuldade diversos. O melhor aproveitamento deste curso de análise demanda conhecimentos prévios de cálculo.
Além da exposição dos conceitos gerais e fatos básicos sobre conjuntos e funções, são apresentados os números reais, os fundamentos de sua teoria, sequências e séries; a topologia da reta; os limites de funções; derivadas; a integral de Riemann; e as sequências e séries de funções. O autor adotou um estilo informal e descritivo nos primeiros capítulos e um ponto de vista axiomático nos demais.
CONTEÚDO
1 Conjuntos e Funções
1 Conjuntos
2 Operações entre conjuntos
3 Funções
4 Composição de funções
5 Famílias
Exercícios
2 Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis
1 Números naturais
2 Boa ordenação e o Segundo Princípio de Indução
3 Conjuntos finitos e infinitos
4 Conjuntos enumeráveis
5 Conjuntos não-enumeráveis
Exercícios
3 Números Reais
1 Corpos
2 Corpos ordenados
3 Números reais
Exercícios
4 Sequências e Séries de Números Reais
1 Sequências
2 Limite de uma sequência
3 Propriedades aritméticas dos limites
4 Subsequências
5 Sequências de Cauchy
6 Limites infinitos
7 Séries numéricas
Exercícios
5 Topologia da Reta
1 Conjuntos abertos
2 Conjuntos fechados
3 Pontos de acumulação
4 Conjuntos compactos
Exercícios
6 Limites de Funções
1 Definição e propriedades do limite
2 Exemplos de limites
3 Limites laterais
4 Limites no infinito
5 Valores de aderência de uma função; lim sup e lim inf
Exercícios
7 Funções Contínuas
1 A noção de função contínua
2 Descontinuidades
3 Funções contínuas em intervalos
4 Funções contínuas em conjuntos compactos
5 Continuidade uniforme
Exercícios
8 Derivadas
1 Definição e propriedades da derivada num ponto
2 Funções deriváveis num intervalo
3 Fórmula de Taylor
4 Série de Taylor, funções analíticas
Exercícios
9 Integral de Riemann
1 Integral superior e integral inferior
2 Funções integráveis
3 O Teorema Fundamental do Cálculo
4 Fórmulas clássicas do Cálculo Integral
5 A integral como limite de somas
6 Caracterização das funções integráveis
7 Logaritmos e exponenciais
Exercícios
10 Sequências e Séries de Funções
1 Convergência simples e convergência uniforme
2 Propriedades da convergência uniforme
3 Séries de potências
4 Funções analíticas
5 Equicontinuidade
Exercícios
Bibliografia
Índice de Notações
Índice de Autores
Índice Remissivo
SOBRE O AUTOR
Elon Lages Lima
Elon nasceu em Maceió, iniciou seus estudos universitários em Fortaleza, bacharelou-se em Matemática na UFRJ e fez pós-graduação na Universidade de Chicago, onde obteve os graus de Mestre e Doutor (Ph.D.)
Foi pesquisador Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) ao qual esteve ligado desde os tempos de graduação, como bolsista de Iniciação Científica. Sua área de maior interesse foi a Topologia, tendo começado com Topologia Algébrica, onde introduziu a noção de sequências espectrais e dedicando-se posteriormente à Topologia Diferencial.
Foi membro titular da Academia Brasileira de Ciências, da Academia Mundial TWAS, diretor do IMPA, presidente da Sociedade Brasileira de Matemática e Doutor Honoris Causa por oito universidades no Brasil e no exterior.
Torcedor moderadamente fanático do Fluminense, fora do futebol, sua maior distração foi escrever livros expositórios de Topologia, Análise, Álgebra e Matemática Elementar, dois dos quais são ganhadores do Prêmio Jabuti.
