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Álgebra exemplar - um estudo da Álgebra através de exemplos

Álgebra exemplar - um estudo da Álgebra através de exemplos
Autor(es) : Sérgio Tadao Martins e Eduardo Tengan
Páginas : 696
Publicação : IMPA, 2020
ISBN: 978-65-89124-05-4
1ª edição

CONTEÚDO 

Prefácio

I Grupos

1 Trabalhando em grupos
   1.1 Definições
   1.2 Primeiros exemplos
   1.3 Propriedades elementares
   1.4 Translações e o “gira-gira”
   1.5 Conjugação
   1.6 Subgrupos
   1.7 Exercícios

2 Ordem e grupos cíclicos
   2.1 Definições
   2.2 Geradores de um grupo cíclico finito
   2.3 Exercícios

3 Teorema de Lagrange
   3.1 Classes laterais
   3.2 Teorema de Lagrange
   3.3 Exercícios

4 Morfismos, Isomorfismos e Automorfismos
   4.1 Morfismos de grupos
   4.2 Isomorfismos
   4.3 Automorfismos
   4.4 Exercícios

5 Grupos que aparecem na Natureza
   5.1 Grupo simétrico
          5.1.1 Paridade de permutações e grupo alternante
   5.2 Grupo linear
          5.2.1 Matrizes elementares
          5.2.2 Grupos ortogonal, unitário e simplético
   5.3 Grupo diedral
   5.4 Grupo livre
   5.5 Grupo fundamental
          5.5.1 O teorema do ponto fixo de Brouwer
          5.5.2 O teorema fundamental da Álgebra
   5.6 Outros exemplos
          5.6.1 Grupo afim
          5.6.2 Curvas elípticas
   5.6.3 Grupo F de Thompson
   5.7 Exercícios

6 Subgrupos normais e quocientes
   6.1 Subgrupos normais
   6.2 Grupo quociente
   6.3 Teorema da Correspondência
   6.4 Teorema do Isomorfismo
   6.5 Exercícios

7 Ação de grupo
   7.1 Notação e definições
   7.2 Exemplos de ações
   7.3 Teoremas de partição e órbita-estabilizador
   7.4 p-grupos
   7.5 Lema de Burnside
   7.6 La liberte, la fidelité et la transitivité
   7.7 Ações geométricas
          7.7.1 Espaço projetivo e o grupo projetivo linear
          7.7.2 Ações sobre o plano hiperbólico
   7.8 Exercícios

8 Classificando grupos
   8.1 Sequências exatas
   8.2 Produto semidireto
   8.3 Presentação de um grupo
   8.4 Grupos simples
   8.5 Teoremas de Sylow
   8.6 Grupos solúveis e nilpotentes
   8.7 Exercícios

II Anéis 

9 Trabalhando em anéis 
   9.1 Definições e propriedades básicas
   9.2 Unidades, nilpotentes e idempotentes
   9.3 Domínios, anéis de divisão e corpos
   9.4 Morfismos, isomorfismos e automorfismos
   9.5 Corpo de frações
   9.6 Exercícios

10 Quocientes
   10.1 Ideais
   10.2 Módulos e álgebras
   10.3 Quocientes
   10.4 Teorema do Isomorfismo
   10.5 Ideais primos e maximais
   10.6 Teorema Chinês dos Restos
   10.7 Exercícios

II Anéis que aparecem na Natureza
   11.1 Polinômios
   11.2 Inteiros p-ádicos
   11.3 Conjuntos algébricos
   11.4 Anel de grupo e representações
   11.5 Exercícios    

12 Domínios de Fatoração Única
   12.1 Irredutíveis, primos e associados
   12.2 Domínios de fatoração única
   12.3 Problemas em aberto
   12.4 Exercícios

13 Domínios Euclidianos 
   13.1 Definição e exemplos
   13.2 Fatoração única em DE’s
   13.3 Algoritmo de Euclides
   13.4 Exemplo: Inteiros de Gauβ
   13.5 Exercícios

14 Anéis e Módulos Noetherianos
   14.1 Definição e exemplos
   14.2 O teorema de base de Hilbert
   14.3 Módulos noetherianos
   14.4 Domínios de Ideais Principais
   14.5 Exercícios

15 Lema de Gauβ
   15.1 Lema de Gauβ
   15.2 O critério de irredutibilidade de Eisenstein
   15.3 Exercícios

16 Módulos finitamente gerados sobre DIP’s
   16.1 Bases e módulos livres
   16.2 Módulos livres sobre um DIP
   16.3 Aplicações
   16.4 Demonstrações dos teoremas principais
   16.5 Exercícios

III Corpos

17 Definições básicas
   17.1 Característica de um grupo
   17.2 Extensões de corpos
   17.3 Exercícios

18 Extensões algébricas e transcendentes
   18.1 Definições e exemplos
   18.2 Polinômio minimal
   18.3 Elementos transcendentes explícitos
   18.4 Exercícios 

19 Extensões finitas e simples
   19.1 Grau de uma extensão
   19.2 Extensões simples
   19.3 O lema de Graus
   19.4 Extensões finitas são algébricas
   19.5 Exercícios

20 Construções com régua e compasso
   20.1 Números construtíveis
   20.2 Critério de construtibilidade
   20.3 Exercícios

21 Corpo de raízes e fecho algébrico
   21.1 Corpo de raízes de um polinômio
   21.2 Corpos algebricamente fechados
   21.3 Exercícios

22 Imersões e automorfismos de extensões de corpos
   22.1 K-Imersões
   22.2 O principio do picles e o lema fundamental
   22.3 Imersões em corpos algebricamente fechados
   22.4 Exercícios  

23 Teoria de Galois: enunciado e exemplos
   23.1 Extensões galoisianas
   23.2 O teorema fundamental da teoria de Galois
   23.3 Primeiros exemplos
   23.4 GauB e o heptaecágono regular
   23.5 O teorema fundamental da Álgebra revisitado
   23.6 Extensões cíclicas
   23.7 Exercícios

24 Extensões normais e separáveis
   24.1 Polinômios separáveis
   24.2 O critério imersivo de separabilidade
   24.3 Extensões normais
   24.4 Teorema Fundamental da Teoria de Galois
   24.5 Problemas em aberto
   24.6 Exercícios

25 Corpos finitos, norma e traço
   25.1 Corpos finitos
   25.2 Norma e Traço
   25.3 Exercícios

26 Solubilidade por radicais
   26.1 Extensões de corpos e torres radicais
   26.2 Critério de solubilidade por radicais
   26.3 Exercícios

IV Apêndices

A Fundamentos
   A.1 Relações
          A.1.1 Relações de equivalência e de ordem
          A.1.2 Axioma da escolha, Lema de Zorn e Boa Ordenação
   A.2 Divisibilidade e congruências
   A.3 Exercícios

B  Números Complexos
   B.1 Forma polar e fórmula de Euler
   B.2 Raízes da unidade
   B.3 Exercícios

C Espaços vetoriais
   C.1 Espaços Vetoriais
   C.2 Transformações lineares
          C.2.1 Matriz de uma transformação linear com relação a uma base
          C.2.2 Autovalores e autovetores
   C.3 Operações com espaços vetoriais
          C.3.1 Soma direta
          C.3.2 Quociente
          C.3.3 Dual
          C.3.4 Produto Tensorial
          C.3.5 Produto exterior
          C.3.6 Determinante
   C.4 Formas bilineares e formas quadráticas
          C.4.1 Formas bilineares e ortogonalidade
          C.4.2 Potência simétrica
          C.4.3 Produto interno
   C.5 Exercícios

Bibliografia 

 

SOBRE OS AUTORES

Sérgio Tadao Martins

Paulistano, conheceu a Matemática através das olimpíadas. Após um breve passeio pela Ciência da Computação na graduação (Unicamp), retornou ao rumo matemático no mestrado e doutorado, o primeiro em Equações Diferenciais e o segundo em Topologia Algébrica, ambos pela Universidade de São Paulo. Atualmente é professor na Universidade Federal de Santa Catarina.

Eduardo Tengan

Eduardo, também paulistano, é PhD em Matemática pela Emory University, com graduação e mestrado em Computação pela USP. Em pesquisa, seus interesses são questões aritméticas e geométricas envolvendo Anéis de Divisão, bem como a erradicação de todo o trabalho burocrático e pseudoadministrativo. Fora da Matemática, é grande apreciador das obras dos compositores Mahler e Shostakovich e fã dos violinistas Heifetz e Oistrakh. 

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