DESCRIÇÃO
Indiscutivelmente Álgebra é hoje indispensável àqueles em busca de uma formação matemática sólida, basta atentarmos para o número de medalhas Fields na área para se convencer. Este livro introdutório procura ilustrar a teoria bem como interações com outras áreas (Geometria, Álgebra Linear, Análise, etc) através de mais de 300 exemplos concretos. Grande ênfase é dada para a hierarquização das ideias centrais, a fim de ajudar o leitor a diferenciar os resultados principais dos detalhes técnicos. Com isto, os autores esperam transmitir seu encanto e entusiasmo pela área. Afinal, a Álgebra deve ser o estudo das estruturas fundamentais da Matemática e não o “estudo de definições”.
CONTEÚDO
Prefácio
I Grupos
1 Trabalhando em grupos
1.1 Definições
1.2 Primeiros exemplos
1.3 Propriedades elementares
1.4 Translações e o “gira-gira”
1.5 Conjugação
1.6 Subgrupos
1.7 Exercícios
2 Ordem e grupos cíclicos
2.1 Definições
2.2 Geradores de um grupo cíclico finito
2.3 Exercícios
3 Teorema de Lagrange
3.1 Classes laterais
3.2 Teorema de Lagrange
3.3 Exercícios
4 Morfismos, Isomorfismos e Automorfismos
4.1 Morfismos de grupos
4.2 Isomorfismos
4.3 Automorfismos
4.4 Exercícios
5 Grupos que aparecem na Natureza
5.1 Grupo simétrico
5.1.1 Paridade de permutações e grupo alternante
5.2 Grupo linear
5.2.1 Matrizes elementares
5.2.2 Grupos ortogonal, unitário e simplético
5.3 Grupo diedral
5.4 Grupo livre
5.5 Grupo fundamental
5.5.1 O teorema do ponto fixo de Brouwer
5.5.2 O teorema fundamental da Álgebra
5.6 Outros exemplos
5.6.1 Grupo afim
5.6.2 Curvas elípticas
5.6.3 Grupo F de Thompson
5.7 Exercícios
6 Subgrupos normais e quocientes
6.1 Subgrupos normais
6.2 Grupo quociente
6.3 Teorema da Correspondência
6.4 Teorema do Isomorfismo
6.5 Exercícios
7 Ação de grupo
7.1 Notação e definições
7.2 Exemplos de ações
7.3 Teoremas de partição e órbita-estabilizador
7.4 p-grupos
7.5 Lema de Burnside
7.6 La liberte, la fidelité et la transitivité
7.7 Ações geométricas
7.7.1 Espaço projetivo e o grupo projetivo linear
7.7.2 Ações sobre o plano hiperbólico
7.8 Exercícios
8 Classificando grupos
8.1 Sequências exatas
8.2 Produto semidireto
8.3 Presentação de um grupo
8.4 Grupos simples
8.5 Teoremas de Sylow
8.6 Grupos solúveis e nilpotentes
8.7 Exercícios
II Anéis
9 Trabalhando em anéis
9.1 Definições e propriedades básicas
9.2 Unidades, nilpotentes e idempotentes
9.3 Domínios, anéis de divisão e corpos
9.4 Morfismos, isomorfismos e automorfismos
9.5 Corpo de frações
9.6 Exercícios
10 Quocientes
10.1 Ideais
10.2 Módulos e álgebras
10.3 Quocientes
10.4 Teorema do Isomorfismo
10.5 Ideais primos e maximais
10.6 Teorema Chinês dos Restos
10.7 Exercícios
II Anéis que aparecem na Natureza
11.1 Polinômios
11.2 Inteiros p-ádicos
11.3 Conjuntos algébricos
11.4 Anel de grupo e representações
11.5 Exercícios
12 Domínios de Fatoração Única
12.1 Irredutíveis, primos e associados
12.2 Domínios de fatoração única
12.3 Problemas em aberto
12.4 Exercícios
13 Domínios Euclidianos
13.1 Definição e exemplos
13.2 Fatoração única em DE’s
13.3 Algoritmo de Euclides
13.4 Exemplo: Inteiros de Gauβ
13.5 Exercícios
14 Anéis e Módulos Noetherianos
14.1 Definição e exemplos
14.2 O teorema de base de Hilbert
14.3 Módulos noetherianos
14.4 Domínios de Ideais Principais
14.5 Exercícios
15 Lema de Gauβ
15.1 Lema de Gauβ
15.2 O critério de irredutibilidade de Eisenstein
15.3 Exercícios
16 Módulos finitamente gerados sobre DIP’s
16.1 Bases e módulos livres
16.2 Módulos livres sobre um DIP
16.3 Aplicações
16.4 Demonstrações dos teoremas principais
16.5 Exercícios
III Corpos
17 Definições básicas
17.1 Característica de um grupo
17.2 Extensões de corpos
17.3 Exercícios
18 Extensões algébricas e transcendentes
18.1 Definições e exemplos
18.2 Polinômio minimal
18.3 Elementos transcendentes explícitos
18.4 Exercícios
19 Extensões finitas e simples
19.1 Grau de uma extensão
19.2 Extensões simples
19.3 O lema de Graus
19.4 Extensões finitas são algébricas
19.5 Exercícios
20 Construções com régua e compasso
20.1 Números construtíveis
20.2 Critério de construtibilidade
20.3 Exercícios
21 Corpo de raízes e fecho algébrico
21.1 Corpo de raízes de um polinômio
21.2 Corpos algebricamente fechados
21.3 Exercícios
22 Imersões e automorfismos de extensões de corpos
22.1 K-Imersões
22.2 O principio do picles e o lema fundamental
22.3 Imersões em corpos algebricamente fechados
22.4 Exercícios
23 Teoria de Galois: enunciado e exemplos
23.1 Extensões galoisianas
23.2 O teorema fundamental da teoria de Galois
23.3 Primeiros exemplos
23.4 GauB e o heptaecágono regular
23.5 O teorema fundamental da Álgebra revisitado
23.6 Extensões cíclicas
23.7 Exercícios
24 Extensões normais e separáveis
24.1 Polinômios separáveis
24.2 O critério imersivo de separabilidade
24.3 Extensões normais
24.4 Teorema Fundamental da Teoria de Galois
24.5 Problemas em aberto
24.6 Exercícios
25 Corpos finitos, norma e traço
25.1 Corpos finitos
25.2 Norma e Traço
25.3 Exercícios
26 Solubilidade por radicais
26.1 Extensões de corpos e torres radicais
26.2 Critério de solubilidade por radicais
26.3 Exercícios
IV Apêndices
A Fundamentos
A.1 Relações
A.1.1 Relações de equivalência e de ordem
A.1.2 Axioma da escolha, Lema de Zorn e Boa Ordenação
A.2 Divisibilidade e congruências
A.3 Exercícios
B Números Complexos
B.1 Forma polar e fórmula de Euler
B.2 Raízes da unidade
B.3 Exercícios
C Espaços vetoriais
C.1 Espaços Vetoriais
C.2 Transformações lineares
C.2.1 Matriz de uma transformação linear com relação a uma base
C.2.2 Autovalores e autovetores
C.3 Operações com espaços vetoriais
C.3.1 Soma direta
C.3.2 Quociente
C.3.3 Dual
C.3.4 Produto Tensorial
C.3.5 Produto exterior
C.3.6 Determinante
C.4 Formas bilineares e formas quadráticas
C.4.1 Formas bilineares e ortogonalidade
C.4.2 Potência simétrica
C.4.3 Produto interno
C.5 Exercícios
Bibliografia
SOBRE OS AUTORES
Sérgio Tadao Martins
Paulistano, conheceu a Matemática através das olimpíadas. Após um breve passeio pela Ciência da Computação na graduação (Unicamp), retornou ao rumo matemático no mestrado e doutorado, o primeiro em Equações Diferenciais e o segundo em Topologia Algébrica, ambos pela Universidade de São Paulo. Atualmente é professor na Universidade Federal de Santa Catarina.
Eduardo Tengan
Eduardo, também paulistano, é PhD em Matemática pela Emory University, com graduação e mestrado em Computação pela USP. Em pesquisa, seus interesses são questões aritméticas e geométricas envolvendo Anéis de Divisão, bem como a erradicação de todo o trabalho burocrático e pseudoadministrativo. Fora da Matemática, é grande apreciador das obras dos compositores Mahler e Shostakovich e fã dos violinistas Heifetz e Oistrakh.
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