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Álgebra Comutativa em Quatro Movimentos

Álgebra Comutativa em Quatro Movimentos
Autor(es) : Herivelto Borges e Eduardo Tengan
Páginas : 480
Publicação : IMPA, 2020
ISBN: 978-65-990528-8-0
2ª edição

CONTEÚDO

I Nocturne

1 Dando nomes aos bois
   1.1 Notações, definições e convenções
   1.2 Domínios, anéis reduzidos e indecomponíveis
   1.3 Ideais
          1.3.1 Ideias próprios e maximais
          1.3.2 Operações com ideais
   1.4 Anel quociente
   1.5 Teorema chinês dos restos
   1.6 Módulos
         1.6.1 Sequências exatas
         1.6.2 Operações sobre módulos
   1.7 Anéis e módulos graduados
   1.8 Exercícios

2 Anéis que aparecem na natureza
   2.1 Séries formais
   2.2 Inteiros algébricos
   2.3 Variedades algébricas
          2.3.1 Conjuntos algébricos afins
          2.3.2 Morfismos e anel de funções regulares
          2.3.3 Equivalência de categorias
          2.3.4 Conjuntos algébricos projetivos
   2.4 Inteiros p-ádicos
   2.5 Exercícios

II Scherzo

3 Ideais primos e espectro
   3.1 Ideais primos
   3.2 Dimensão de Krull
   3.3 Topologia de Zariski
   3.4 Exercícios

4 Localização
   4.1 Construção e propriedade universal
   4.2 O funtor localização
   4.3 Como assassinar primos
   4.4 Conexidade e irredutibilidade
   4.5 Anéis locais e lema de Nakayama
   4.6 Bases minimais
   4.7 Exercícios

5 Produto tensorial
   5.1 Construção e propriedades básicas
   5.2 O funtor mudança de base
   5.3 Produto tensorial de álgebras
   5.4 Fibras
   5.5 Módulos e álgebras planas
   5.6 Exercícios

6 Anéis e módulos noetherianos
   6.1 Definições e propriedades básicas
   6.2 Teorema da base de Hilbert
   6.3 Álgebras e módulos de presentação finita
   6.4 Exercícios

7 Anéis e módulos artinianos
   7.1 Definições e propriedades básicas
   7.2 Comprimento de módulos
   7.3 Estrutura de anéis artinianos
   7.4 Exercícios

III Passacaglia

8 Extensões finitas e integrais
   8.1 Definições e propriedades básicas
   8.2 Fibras de extensões finitas e integrais
   8.3 Anéis normais e normalização
   8.4 Exercícios

9 Normalização de Noether e Nullstellensatz
   9.1 Teorema de normalização de Noether
   9.2 Dimensão de domínios finitamente gerados sobre corpos
   9.3 Nullstellensatz
   9.4 NullstellensatZ
   9.5 Exercícios

10 Domínios de Dedekind e valorizações discretas
   10.1 Valorizações discretas
   10.2 Dominios de Dedekind
   10.3 Ordem
   10.4 Exercícios

11 Ação de grupo e Going-down
   11.1 Grupos agindo sobre um anel
   11.2 Going-down
   11.3 Grupos de decomposição e de inércia
   11.4 Aplicações em teoria de Galois
   11.5 Exercícios

12 Divisores de zero e primos associados
   12.1 Suporte e anulador de um módulo
   12.2 Divisores de zero e primos associados
   12.3 Critério de normalidade de Serre
   12.4 Decomposição primária
   12.5 Exercícios

IV Burlesque

13 Anéis completos
   13.1 Topologia α-ádica e o teorema de Artin-Rees
   13.2 Anéis completos e henselianos
   13.3 Completamento de anéis noetherianos
   13.4 Teorema de preparação de Weierstraß
   13.5 Exercícios

14 Dimensão
   14.1 Algumas identidades binomiais
   14.2 Polinômio de Hilbert-Samuel
   14.3 Teorema de dimensão de Krull
   14.4 Dimensão de fibras
   14.5 Anéis locais regulares
   14.6 Exercícios

15 Esquemas
   15.1 Geometria com categoria
            15.1.1 Pré-feixes e feixes
            15.1.2 Espaços localmente anulares
   15.2 Esquemas
             15.2.1 Feixe estrutural de um anel
             15.2.2 Esquemas afins
             15.2.3 Exemplos
             15.2.4 Esquemas projetivos
   15.3 Funtor de pontos e produto fibrado
             15.3.1 Funtor de pontos de esquemas
             15.3.2 Produto fibrado de esquemas
   15.4 Propriedades de esquemas
   15.5 Exercícios

V Apéndices

   A Fundamentos
   A.1 Topologia geral
          A.1.1 Construindo novas topologias
          A.1.2 Espaços métricos
          A.1.3 Propriedades
          A.1.4 Grupos topológicos
   A.2 Categorias e funtores
   A.3 Limites
   A.4 Exercícios

B Fatoração única
   B.1 Domínios euclidianos, domínios de ideias principais e domínios de fatoração única
   B.2 Exemplo: Inteiros de Gauß
   B.3 Lema de Gauß
   B.4 Estrutura de módulos finitamente gerados sobre domínios de ideais principais
   B.5 Exercícios

C Teoria de corpos
   C.1 Extensões finitas e algébricas de corpos
   C.2 Extensões simples e fecho algébrico
   C.3 Extensões quase-Galois e lema fundamental
   C.4 Separabilidade
   C.5 Teoria de Galois
   C.6 Teoria de Galois infinita
   C.7 Traço e norma
   C.8 Discriminante
   C.9 Extensões transcendentes
   C.10 Exercícios

Bibliografia

 

SOBRE OS AUTORES

Herivelto Borges

Fez Matemática na USP, em São Paulo, onde também obteve o mestrado. Decidiu então tentar um voo mais alto (literalmente) e mudou-se para a Universidade do Texas, em Austin. Ali obteve o doutorado sob orientação de Felipe Voloch, e depois de um estágio de pós-doutorado na Unicamp voltou às origens, tornando-se professor na USP, em São Carlos. Trabalha na área de curvas algébricas definidas sobre corpos finitos, não desprezando as aplicações à Geometria Finita e Combinatória. Nas horas vagas se distrai ensinado Álgebra a seu cachorro.

Eduardo Tengan

Eduardo, paulistano, é PhD em Matemática pela Emory University, com graduação e mestrado em Computação pela USP. Em pesquisa, seus interesses são questões aritméticas e geométricas envolvendo Anéis de Divisão, bem como a erradicação de todo o trabalho burocrático e pseudoadministrativo. Fora da Matemática, é grande apreciador das obras dos compositores Mahler e Shostakovich e fã dos violinistas Heifetz e Oistrakh. 

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