DESCRIÇÃO
O livro é uma introdução ao estudo dos anéis comutativos voltada para leitores que estão no início da jornada pela fascinante área da matemática e não foi concebido para ser lido linearmente, de ponta a ponta, mas sim “navegado” segundo interesses e necessidades de cada leitor.
Os pré-requisitos para este livro são poucos: em essência, um bom curso de Álgebra da graduação cobre bem mais do que o necessário para a sua leitura. Em todo caso, os apêndices apresentam de forma telegráfica tais pré-requisitos e o leitor poderá consultá-los para relembrar este ou aquele resultado ou mesmo aprendê-lo “on the fly” se este lhe for desconhecido.
CONTEÚDO
I Nocturne
1 Dando nomes aos bois
1.1 Notações, definições e convenções
1.2 Domínios, anéis reduzidos e indecomponíveis
1.3 Ideais
1.3.1 Ideias próprios e maximais
1.3.2 Operações com ideais
1.4 Anel quociente
1.5 Teorema chinês dos restos
1.6 Módulos
1.6.1 Sequências exatas
1.6.2 Operações sobre módulos
1.7 Anéis e módulos graduados
1.8 Exercícios
2 Anéis que aparecem na natureza
2.1 Séries formais
2.2 Inteiros algébricos
2.3 Variedades algébricas
2.3.1 Conjuntos algébricos afins
2.3.2 Morfismos e anel de funções regulares
2.3.3 Equivalência de categorias
2.3.4 Conjuntos algébricos projetivos
2.4 Inteiros p-ádicos
2.5 Exercícios
II Scherzo
3 Ideais primos e espectro
3.1 Ideais primos
3.2 Dimensão de Krull
3.3 Topologia de Zariski
3.4 Exercícios
4 Localização
4.1 Construção e propriedade universal
4.2 O funtor localização
4.3 Como assassinar primos
4.4 Conexidade e irredutibilidade
4.5 Anéis locais e lema de Nakayama
4.6 Bases minimais
4.7 Exercícios
5 Produto tensorial
5.1 Construção e propriedades básicas
5.2 O funtor mudança de base
5.3 Produto tensorial de álgebras
5.4 Fibras
5.5 Módulos e álgebras planas
5.6 Exercícios
6 Anéis e módulos noetherianos
6.1 Definições e propriedades básicas
6.2 Teorema da base de Hilbert
6.3 Álgebras e módulos de presentação finita
6.4 Exercícios
7 Anéis e módulos artinianos
7.1 Definições e propriedades básicas
7.2 Comprimento de módulos
7.3 Estrutura de anéis artinianos
7.4 Exercícios
III Passacaglia
8 Extensões finitas e integrais
8.1 Definições e propriedades básicas
8.2 Fibras de extensões finitas e integrais
8.3 Anéis normais e normalização
8.4 Exercícios
9 Normalização de Noether e Nullstellensatz
9.1 Teorema de normalização de Noether
9.2 Dimensão de domínios finitamente gerados sobre corpos
9.3 Nullstellensatz
9.4 NullstellensatZ
9.5 Exercícios
10 Domínios de Dedekind e valorizações discretas
10.1 Valorizações discretas
10.2 Dominios de Dedekind
10.3 Ordem
10.4 Exercícios
11 Ação de grupo e Going-down
11.1 Grupos agindo sobre um anel
11.2 Going-down
11.3 Grupos de decomposição e de inércia
11.4 Aplicações em teoria de Galois
11.5 Exercícios
12 Divisores de zero e primos associados
12.1 Suporte e anulador de um módulo
12.2 Divisores de zero e primos associados
12.3 Critério de normalidade de Serre
12.4 Decomposição primária
12.5 Exercícios
IV Burlesque
13 Anéis completos
13.1 Topologia α-ádica e o teorema de Artin-Rees
13.2 Anéis completos e henselianos
13.3 Completamento de anéis noetherianos
13.4 Teorema de preparação de Weierstraß
13.5 Exercícios
14 Dimensão
14.1 Algumas identidades binomiais
14.2 Polinômio de Hilbert-Samuel
14.3 Teorema de dimensão de Krull
14.4 Dimensão de fibras
14.5 Anéis locais regulares
14.6 Exercícios
15 Esquemas
15.1 Geometria com categoria
15.1.1 Pré-feixes e feixes
15.1.2 Espaços localmente anulares
15.2 Esquemas
15.2.1 Feixe estrutural de um anel
15.2.2 Esquemas afins
15.2.3 Exemplos
15.2.4 Esquemas projetivos
15.3 Funtor de pontos e produto fibrado
15.3.1 Funtor de pontos de esquemas
15.3.2 Produto fibrado de esquemas
15.4 Propriedades de esquemas
15.5 Exercícios
V Apéndices
A Fundamentos
A.1 Topologia geral
A.1.1 Construindo novas topologias
A.1.2 Espaços métricos
A.1.3 Propriedades
A.1.4 Grupos topológicos
A.2 Categorias e funtores
A.3 Limites
A.4 Exercícios
B Fatoração única
B.1 Domínios euclidianos, domínios de ideias principais e domínios de fatoração única
B.2 Exemplo: Inteiros de Gauß
B.3 Lema de Gauß
B.4 Estrutura de módulos finitamente gerados sobre domínios de ideais principais
B.5 Exercícios
C Teoria de corpos
C.1 Extensões finitas e algébricas de corpos
C.2 Extensões simples e fecho algébrico
C.3 Extensões quase-Galois e lema fundamental
C.4 Separabilidade
C.5 Teoria de Galois
C.6 Teoria de Galois infinita
C.7 Traço e norma
C.8 Discriminante
C.9 Extensões transcendentes
C.10 Exercícios
Bibliografia
SOBRE OS AUTORES
Herivelto Borges
Fez Matemática na USP, em São Paulo, onde também obteve o mestrado. Decidiu então tentar um voo mais alto (literalmente) e mudou-se para a Universidade do Texas, em Austin. Ali obteve o doutorado sob orientação de Felipe Voloch, e depois de um estágio de pós-doutorado na Unicamp voltou às origens, tornando-se professor na USP, em São Carlos. Trabalha na área de curvas algébricas definidas sobre corpos finitos, não desprezando as aplicações à Geometria Finita e Combinatória. Nas horas vagas se distrai ensinado Álgebra a seu cachorro.
Eduardo Tengan
Eduardo, paulistano, é PhD em Matemática pela Emory University, com graduação e mestrado em Computação pela USP. Em pesquisa, seus interesses são questões aritméticas e geométricas envolvendo Anéis de Divisão, bem como a erradicação de todo o trabalho burocrático e pseudoadministrativo. Fora da Matemática, é grande apreciador das obras dos compositores Mahler e Shostakovich e fã dos violinistas Heifetz e Oistrakh.
