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22 de fevereiro de 2019, 17:06h

Dissertação cria nova técnica na área de dinâmica de fluidos

 

Pesquisadores tentam entender, há séculos, o movimento dos fluidos, descrito, matematicamente, pelas equações de Euler e de Navier-Stokes. Mas permanecem em aberto pontos essenciais à compreensão de fenômenos como a circulação sanguínea, a dinâmica das estrelas e a dispersão da poluição atmosférica. 

Um novo passo rumo a esse entendimento foi dado pelo engenheiro Ciro Campolina e está descrito na dissertação de mestrado que ele defenderá na próxima terça-feira (26), às 14h, na sala 224 do IMPA. Ele foi orientado por Alexei Mailybaev, pesquisador da área de dinâmica dos fluidos.

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Intitulado “Fluid Dynamics on Logarithmic Lattices and Singularities of Euler Flow”, o trabalho lança luz sobre as equações de Euler tridimensionais para fluidos incompressíveis, como a água, e, em determinadas condições, o ar, que preservam o volume em seu movimento. 

Campolina, 25 anos, tentou descobrir se, dada uma condição inicial do fluido, existe para essas equações solução definida para todos os instantes de tempo.

“É uma questão que existe tanto para as equações de Euler quanto para as de Navier-Stokes”, diz ele, referindo-se, por último, às equações consideradas um dos sete problemas do milênio, alvo do prêmio de U$ 1 milhão do Clay Mathematics Institute. 

Carioca de sotaque típico da Zona da Mata mineira, onde cresceu, ele explica que a diferença entre as equações citadas se dá no tipo de fluido analisado. As de Euler são usadas para fluidos no qual o atrito interno (viscosidade), de tão pequeno, é desconsiderado. Elas descrevem escoamentos turbulentos, como os que vemos nas tempestades. Quando o atrito existe, lança-se mão das de Navier-Stokes. Ambas descrevem como as mudanças decorrentes, por exemplo, das variações de pressão afetam as partículas dos fluidos. 

Para verificar a existência ou não da formação de um tipo de singularidade, chamado blow up, que impede a existência da solução dessas equações para qualquer instante de tempo, Campolina precisou desenvolver uma nova técnica de análise.

Segundo explica, os resultados alcançados com o método atual, as simulações diretas de última geração (DNS), são ambíguos, não dão conta da complexidade e da variedade das estruturas observadas.

“O blow up seria a formação de um ponto no fluido em que a circulação local das partículas atinge valores muito grandes e vai para o infinito. A solução, portanto, só existe até um instante determinado e, a partir dali, não pode ser estendida porque esta circulação local descrita pela solução da equação cresceu e, naquele instante ‘explodiu’, ou seja, foi para o infinito”, detalha ele, que ingressou no mestrado em 2017, logo após concluir a graduação em engenharia mecânica na Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF).

Foi durante o curso que ele despertou para a área de pesquisa, ao lidar com problemas de fundamental importância prática, como mensurar a resistência do ar sobre uma aeronave, identificar pontos de transição para turbulência em algum sistema aerodinâmico e quantificar a eficiência de combustão em um motor automotivo. Todos eles demandam uma mesma teoria física: a descrição do movimento dos fluidos.

“Muitos fenômenos envolvendo fluidos carecem de uma teoria científica completa e satisfatória. Parte dessa dificuldade reside na complexidade matemática das equações que os descrevem”, observa. 

Ainda assim, Campolina, terceiro dos quatro filhos de Claudia, dona de casa, e Antonio Henrique, professor de Filosofia e Teologia – “duas pessoas de grande estudo, ambas me serviram de exemplo para seguir a área acadêmica” – , deu um passo adiante. Encontrou evidências claras do blow up, explicado como um atrator caótico em um sistema renormalizado, após desenvolver um novo modelo matemático que simplifica as equações de Euler, preservando suas propriedades. Formalmente idêntico às equações de Euler, o modelo foi criado restringindo-se as equações de dinâmica de fluidos a uma rede logarítmica 3D.

Além de ter observado a ocorrência da singularidade, o estudo, avalia o mestrando, desvenda algo que ele considera ainda mais importante: as singularidades das equações de Euler não podem ser observadas em simulações computacionais por meio das técnicas usadas atualmente. Nem mesmo por supercomputadores em grandes centros de pesquisa.

“O problema foi investigado do ponto de vista matemático, por meio de provas e análise rigorosa, mas não conseguiram chegar a uma resposta. Uma segunda possibilidade foi tentar simular isso no computador, mas, mesmo usando máquinas superpotentes com meses de computação, não chegaram a resultados claros, justamente por causa da complexidade das equações. Com esse trabalho, nós obtivemos resultados claros, e caracterizamos a dinâmica desse problema”,afirma.

Para Mailybaev, o trabalho introduz um novo formalismo matemático de modelagem, por meio do qual questões fundamentais de turbulência têm maior chance de serem respondidas. “Tal formalismo pode indicar os próximos passos no caminho para a Teoria da Turbulência, teoria de muito interesse para físicos e engenheiros, mas ainda longe de ser completamente desenvolvida.”

A descoberta foi tema de artigo – “Chaotic Blow up in the 3D Incompressible Euler Equations on a Logarithmic Lattice” – publicado em parceria com Mailybaev, na renomada “Physical Review Letters”. 

Concluído o mestrado, Campolina permanecerá no IMPA para o doutorado:

“Quando decidi seguir carreira acadêmica, comecei a procurar grupos de pesquisa que trabalhassem com problemas envolvendo teoria fundamental de fluidos. Conheci o Laboratório de Dinâmica dos Fluidos do IMPA, e o professor Alexei (Mailybaev), que estava a trabalhar em problemas de turbulência, por cuja teoria eu alimentava grande interesse”, diz, destacando que foi acolhido calorosamente. A julgar pelos estudos feitos até aqui, o encontro foi providencial para a Matemática. 

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