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3 de outubro de 2018, 11:11h

Coluna na Folha: A crise dos fundamentos da matemática - 2

Reprodução da coluna de Marcelo Viana, na Folha de S.Paulo

Quando alguém prova que um teorema é verdadeiro, podemos ter certeza que não virá outra pessoa provar que é falso? Esta pergunta preocupava os matemáticos na virada do século 20. A teoria dos conjuntos, então recentemente criada por Georg Cantor, exibia muitos paradoxos ligados à ideia de infinito, e havia o temor de que contaminassem outras áreas da matemática.

Foram propostas várias saídas. A mais famosa foi formulada por David Hilbert. Ele proponha listar um certo número de fatos fundamentais (axiomas), a partir dos quais seriam provadas todas as demais afirmações da matemática (teoremas), por meio de raciocínios rigorosos. Um objetivo crucial seria mostrar, de modo igualmente rigoroso, que não há teoremas ao mesmo tempo verdadeiros e falsos (consistência).

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O “programa de Hilbert”, como ficou conhecido, influenciou muitos trabalhos realizados na primeira metade do século 20, inclusive pelo grupo Nicolas Bourbaki, de que falei recentemente, e também esteve na origem dos resultados de Kurt Gödel, um dos pensadores mais profundos desse século.

Nos anos 1930, Gödel provou um resultado desconcertante, chamado primeiro teorema de incompletude: em qualquer sistema de axiomas suficientemente forte para conter a aritmética –com as operações de adição e multiplicação–, existem teoremas que são verdadeiros e, no entanto, não podem ser provados!

Mas o pior (ou melhor) ainda estava por vir: em seu segundo teorema de incompletude, Gödel provou que a consistência de um tal sistema de axiomas não pode ser provada sem usar axiomas mais fortes (cuja consistência teria de ser provada a partir de outros ainda mais fortes etc).

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