Da China ao IMPA: Hao Cheng defende tese em Geometria Fractal

Nesta sexta-feira (16), Hao Cheng defende sua tese de doutorado apresentando avanços na compreensão da Geometria fractal de variações do espectro de Lagrange, um tema central na interface entre Sistemas Dinâmicos, Teoria dos Números e Geometria Fractal. O trabalho “Sobre a geometria fractal das variações do espectro de Lagrange”, orientado pelo pesquisador Carlos Gustavo Moreira, amplia resultados clássicos da área e revela comportamentos inesperados em espectros pouco explorados pela literatura. A defesa será transmitida ao vivo, às 10h30, pelo youtube do IMPA. 

A relação do doutorando com a matemática começou cedo. Desde a escola primária, a disciplina já despertava seu interesse, contando com o apoio da família — mesmo sendo o único matemático da casa. “Esse apoio foi essencial para que eu chegasse neste neste lugar e neste ponto da minha vida”, afirma. Ele concluiu sua formação acadêmica na Universidade de Nankai, na China, onde trabalhou sob a orientação do professor Ming Li. Foi lá que adquiriu uma base sólida em Sistemas Dinâmicos, área que continuaria a desenvolver durante o doutorado.

O IMPA entrou no caminho de Hao Cheng quando Moreira — que mais tarde se tornaria seu orientador — visitou a Universidade de Nankai. “Conhecê-lo e saber mais sobre as pesquisas realizadas no IMPA, no Rio de Janeiro, fez com que esse se tornasse meu principal objetivo para os estudos de doutorado”, relembra.

A adaptação à vida no Rio de Janeiro foi gradual. Apesar de ainda estar se acostumando à culinária local, o matemático  destaca o impacto positivo da cidade em sua rotina acadêmica. “O cenário natural proporciona uma atmosfera única e motivadora para um trabalho acadêmico intenso”. 

Explorando novas fronteiras dos espectros de Lagrange

De forma geral, a tese tem como objetivo generalizar resultados clássicos sobre o espectro de Lagrange — um conjunto fundamental da teoria dos números ligado à aproximação diofantina — para novas variantes ainda pouco estudadas.

O trabalho investiga três espectros dinâmicos: o segundo espectro de Lagrange (L₂), sua versão alternativa (L₂*) e um espectro associado à aproximação de números complexos da forma 1/2 + iα por números racionais gaussianos. Esses objetos surgem em problemas de aproximação por frações racionais e estão profundamente ligados a sistemas dinâmicos e estruturas fractais.

Utilizando descrições dinâmicas desses espectros por meio de shifts simbólicos e ferraduras, o doutorando estende uma teoria de dimensão desenvolvida pelos pesquisadores Moreira, Davi Lima e Christian Villamil para um contexto mais geral, no qual a função considerada não é suave, mas o máximo de um número finito de funções diferenciáveis. Esse avanço técnico permite mostrar, por exemplo, que a função que descreve a dimensão de Hausdorff do espectro L₂ truncado é contínua, além de provar que diferentes noções de dimensão coincidem nesse caso.

Um dos resultados mais surpreendentes da tese aparece no estudo do espectro alternativo L₂*. Diferentemente do que ocorre nos espectros clássicos, para L₂* Hao Cheng encontrou uma transição abrupta de fase: abaixo de um certo valor, sua dimensão de Hausdorff é zero, mas qualquer pequeno aumento nesse parâmetro faz com que a dimensão salte para o valor máximo possível.

A tese também aborda a aproximação diofantina de números complexos, mostrando que o problema pode ser reduzido à aproximação de números reais e modelado como um sistema dinâmico do tipo skew-product. Com isso, o trabalho obtém novas informações sobre constantes de melhor aproximação em números complexos, aprofundando resultados anteriormente estudados por A. Schmidt.

Após a defesa, Hao Cheng pretende aplicar sua formação matemática fora do ambiente acadêmico. “Meu objetivo imediato é fazer a transição para o mundo profissional”, conta. Ele planeja atuar em uma empresa de tecnologia, explorando as habilidades analíticas e de resolução de problemas desenvolvidas ao longo do doutorado.