Pré-requisitos: Análise no R^n, Algebra Linear e Aplicações.Probabilidade I, Otimização e/ou Análise Funcional são recomendados.

(1) Teoria do Transporte Ótimo
Problema Monge
Relaxamento e dualidade de Kantorovich
Distâncias Wp
Lembre-se: Semicontinuidade inferior, convergência fraca∗, funções convexas.

(2) Aspectos computacionais
Transporte Ótimo Discreto como Programação Linear
Regularização entrópica do algoritmo Optimal Transport e Sinkhorn
Algoritmo Sinkhorn: ponto de vista do programador
Algoritmo Sinkhorn: um ponto de vista matemático

(3) Análise Matemática
Existência de potenciais de Entropia-Kantorovich
Caracterização de soluções do problema primal
Interpolação entre Wp e Máxima Discrepância Média Máxima

(4) Lado métrico do Transporte Ótimo
Existência de potenciais de Kantorovich e Dualidade
Existência de mapas de Transporte Ótimo
A distância p-Wasserstein
Caracterização da Convergência

(5) Aspectos estatísticos
Treinamento com perda de Wasserstein
Calculando o gradiente das distâncias de Wasserstein
Baricentros Wasserstein
Poucos comentários sobre a complexidade amostral

(6) Se o tempo permitir: Fluxos gradientes no espaço de medidas de probabilidade (de volta à teoria)
Fluxos gradientes em R^d
Fluxos gradientes em espaços métricos e De Giorgi minimizando movimentos
Equações de calor, Fokker-Planck e meio poroso
Escolhas possíveis: fluxos gradientes de Wasserstein de ida e volta, JKOnet, amostragem como
uma otimização convexa, Kernalized Wasserstein Flows.

Referências:
1. An Invitation to Optimal Transport, Wasserstein Distances, and Gradient Flows
by Alessio Figalli and Federico Glaudo (2021).
2. Computational Optimal Transport by Marco Cuturi and Gabriel Peyr ́e (available online).
3. Lectures on Optimal Transport by Luigi Ambrosio, Elia Bru ́e, Daniele Semola.

Obs: Esta disciplina é oferecida como disciplina de mestrado. No doutorado, ela possui exigências adicionais.

 

* Ementa básica. O professor tem autonomia para efetuar qualquer alteração.