O curso apresenta diversas técnicas poderosas para a resolução de problemas de física matemática. As técnicas baseiam-se na utilização de expansões sobre um pequeno parâmetro presente na equação considerada ou introduzido por um reescalonamento adequado. O desenvolvimento desses métodos leva a conceitos matemáticos importantes, como o índice de Maslov e a variedade de Lagrange. Os métodos são ilustrados pela resolução de diversos problemas clássicos da mecânica quântica e da teoria de propagação de ondas. O curso inclui uma parte prática onde os alunos desenvolverão modelos numéricos simples para resolver problemas de propagação de ondas em cenários realistas.

Pré-requisitos: Álgebra Linear, Análise no Rn, Equações diferencias ordinárias

1. Equações diferenciais com um parâmetro pequeno.
2. Método WKB clássico, aplicações em mecânica quântica e em acústica.
3. Métodos de quantização semiclássica de Einstein–Brillouin–Keller.
4. Aproximação WKB com raios, congruências dos raios.
5. Feixes Gaussianos.
6. Método das escalas múltiplas.
7. Equações parabólicas para modelagem das ondas.
8. Operador canônico, índice de Maslov, variedades de Lagrange.
9. Calculacão de operador canônico para problemas específicos.

Referências:
1. Nayfeh A.H. Perturbation methods. John Wiley & Sons, 2024.
2. Popov M.M. Ray theory and Gaussian beam method for geophysicists. Editora da Universidade Federal da Bahia, 2002.
3. Trofimov M., Kozitskiy S., Zakharenko A., Petrov P. Formal derivations of mode coupling equations in underwater acoustics: how the method of multiple scales results in an expansion over eigenfunctions and the vectorized wkbj solution for the amplitudes// Journal of Marine Science and Engineering, 2023, Vol. 11(4), Art. No. 797.
4. Petrov P. S., Ehrhardt M., Makarov, D. V. Multiscale Approach to Parabolic Equations Derivation: Beyond the Linear Theory// Procedia Computer Science, 2017, Vol. 108, Pp. 1823-1831.

Obs: Esta disciplina é oferecida como disciplina de mestrado. No doutorado, ela possui exigências adicionais.

 

* Ementa básica. O professor tem autonomia para efetuar qualquer alteração.