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Distribuição de sístoles de superfícies aritméticas

Expositor: Cayo Dória
10/10/2017 , 15:30 | Sala 236.

Para cada $ggeq 2$ seja $mathcal{M}_g$ o espaço moduli das superfíceis hiperbólicas fechadas de gênero $g$ munido da métrica de Weil-Petersson. Em 2001, G.Schumacher e S.Trapani mostraram que o volume de $mathcal{M}_g$ com respeito a essa métrica tem o seguinte comportamento $$ lim_{g to infty} frac{ log vol( mathcal{M}_g) }{glog g}=2.$$ 

Por outro lado, o conjunto $mathcal{AS}_g$ formado pelas superfícies aritméticas de gênero $g$ é finito. Em 2010, M.Belolipetsky, T.Gelander, A.Lubotzky e A.Shalev mostraram que a cardinalidade de $mathcal{AS}_g$ cumpre $$ lim_{gto infty}frac{log|mathcal{AS}_g|}{glog g}=2.$$ Até o presente momento essa coincidência permanece misteriosa, o que nos leva à pergunta natural: Como as superfícies aritméticas estão distribuídas no espaço de todas as superfíceis hiperbólicas? 

A sístole de uma superfície hiperbólica fechada é o comprimento de sua menor geodésica fechada, devido à sua importância a função sístole tem sido estudada extensivamente nos últimos anos, nesta palestra discutiremos como o conjunto sístole$(mathcal{AS}_g )$ está assintoticamente distribuído em sístole$(mathcal{M}_g)$ quando $g$ vai para o infinito. Nossos resultados usam uma combinação de fatos inspirados em trabalhos de B.Baumslag e B.Bollobas.