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19 de January de 2018, 08:58h

Questão matemática esperou mais de 300 anos por solução

Por volta de 1637, o francês Pierre de Fermat escreveu na margem do livro “Arithmetica”, do matemático Diophantus (que viveu no século 2): “A equação AN + BN = CN não tem soluções inteiras se N for um inteiro maior que 2. Encontrei uma prova realmente maravilhosa deste fato mas a margem é demasiado estreita para contê-la.”

Essa anotação foi encontrada depois de sua morte e, durante mais de três séculos, os matemáticos lamentaram amargamente que a margem não fosse maior, pois ninguém conseguiu encontrar a prova que Fermat afirmava ter.

Na origem do problema está o teorema de Pitágoras, que todos conhecemos da escola: “em qualquer triângulo retângulo, se A e B forem os comprimentos dos lados menores –os catetos– e C o comprimento do lado maior –a hipotenusa– então A2 + B2 = C2“.

Este teorema leva o nome do filósofo grego Pitágoras (570-495 a.C., aproximadamente) porque se acredita que ele tenha sido o primeiro a prová-lo matematicamente. Mas o enunciado era conhecido muito antes, pelas grandes civilizações da Mesopotâmia e do Indus.

É interessante estudar a equação A2 +B2 = C2 no caso especial em que A, B e C são números inteiros. Atualmente sabemos que há um conjunto infinito de tais soluções, por exemplo, (A = 3, B = 4, C = 5) e (A = 5, B = 12, C = 13).

“Arithmetica” é um conjunto de treze textos de Diophantus sobre equações desse tipo, em que as soluções são números inteiros. Fermat não foi o único a fazer anotações em suas margens. O estudioso bizantino Janos Chortasmenos (1370-1437) escreveu na mesma página: “Que tua alma esteja com Satanás, Diophantus, pela dificuldade dos teus teoremas, especialmente este aqui.”

Embora a maioria desses textos tenha sido perdida, uma parte foi traduzida para o latim e publicada na Europa a partir do final do século 16, tornando-se muito influente.

Pierre de Fermat nasceu nos primeiros anos do século 17 e morreu em 1665. Foi juiz e matemático, além de exibir uma erudição fora do comum em muitos outros assuntos, Entre as suas descobertas mais importantes conta-se a lei –princípio de Fermat– segundo a qual a luz se desloca de um ponto a outro pelo caminho que minimiza a duração do trajeto. Está na origem de uma das leis mais fundamentais da física: o princípio da mínima ação (ou “lei do menor esforço”, em linguagem coloquial).

Fermat também fez descobertas importantes no cálculo –Newton reconheceu ter sido inspirado por ele– e é considerado o criador da teoria dos números moderna. Ele mesmo provou o caso N = 4 de sua famosa afirmação, e outros casos particulares foram provados depois. Mas a tentativa de provar o caso geral, ou seja, de encontrar um argumento que valha para todos os valores de N maiores que 2, resistiu aos esforços de muitos dos melhores matemáticos ao longo de mais de 300 anos.

Em 1983, o alemão Gerd Faltings (nascido em 1954) provou que se existirem soluções inteiras da equação AN + BN = CN então, essencialmente, elas são em número finito. Por esse trabalho, Faltings ganhou a medalha Fields, a mais prestigiosa premiação da matemática, em 1986.

 

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