Na Folha, os mistérios das constantes matemáticas

Foto: Pixabay

Reprodução da coluna de Marcelo Viana, na Folha de S.Paulo

O amigo leitor está numa situação complicada. Na sua frente há N envelopes fechados, idênticos, cada um com um prêmio em dinheiro, cujo valor varia de um envelope para outro. A regra é que logo após abrir cada envelope pode decidir se fica com o respectivo prêmio e o jogo acaba ou se descarta e abre outro envelope.

Os envelopes são abertos sucessivamente e não é mais possível optar por um deles depois que abriu o seguinte. Como fazer para ganhar o maior prêmio possível? É hora de pedir ajuda aos matemáticos.

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A matemática nos diz que a melhor coisa a fazer é começar escolhendo um certo número K de envelopes e abri-los sem escolher nenhum deles; a partir daí, deve abrir os demais, escolhendo o primeiro que contenha prêmio maior do que todos os K primeiros (se houver; caso contrário, fica com o último envelope).

Essa estratégia não garante que a pessoa vá obter o prêmio máximo, evidentemente, mas está provado matematicamente que é a que tem melhores chances, desde que o número K seja escolhido próximo de N dividido pela constante de Euler e = 2,718281828459045…

Está com a sensação de já ter visto este filme, caro leitor? Talvez seja porque na semana passada escrevi aqui sobre o problema do amigo secreto, cuja solução também é N/e.

O que é que o amigo secreto tem a ver com o jogo dos envelopes, e o que qualquer deles tem a ver com a constante de Euler, que pertence à teoria dos logaritmos? Um leitor fez o questionamento e me dei conta de que não tinha uma boa resposta. Tendo conversado com colegas matemáticos, percebi que não estou sozinho.

De fato, é comum que constantes matemáticas famosas surjam em contextos surpreendentes. Quando representamos graficamente as alturas da população brasileira, obtemos uma curva em forma de sino, que indica que a maior parte das pessoas tem altura perto de um certo valor médio, e o número de casos vai diminuindo quando nos afastamos dessa média, para cima ou para baixo.

Esse tipo de gráfico é tão comum em estatística que é chamado ”curva normal”. Suas propriedades foram estudadas pelo grande matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777–1855), que inclusive encontrou a sua fórmula exata.

Um fato notável é que essa fórmula contém o número pi (π). Isso mesmo, caro leitor, o do perímetro do círculo!

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