28/07/2021

Na Folha, Viana fala de uma importante descoberta de Gauss

Imagem: Freepik

Reprodução da coluna de Marcelo Viana na Folha de S.Paulo

Usando um compasso, trace um círculo no papel. Em seguida, sem mudar a abertura do compasso, trace outro círculo, com centro em algum ponto do primeiro. Finalmente, com uma régua, ligue os centros dos dois círculos com um dos pontos em que os mesmos se cortam. A figura obtida desse modo é um triângulo equilátero, ou seja, cujos lados têm todos o mesmo comprimento.

Os gregos antigos sabiam como construir polígonos regulares de 3, 4, 5 e 15 lados usando apenas régua e compasso. Também sabiam como obter, a partir de qualquer polígono regular outro com o dobro dos lados. Assim, sabiam construir o hexágono regular (6 lados) a partir do triângulo equilátero. Será que todos os polígonos regulares, com qualquer número N de lados, podem ser construídos com régua e compasso?

A resposta é negativa, mas isso só foi entendido no século 18, quando foi provado que os polígonos regulares de 7 e 13 lados não podem ser construídos dessa forma. Então quais são os valores construtíveis de N, ou seja, tais que o polígono regular com N lados pode ser construído usando apenas régua e compasso?

O problema atraiu a atenção de ninguém menos que o grande Carl Friedrich Gauss. Em 1796 ele mostrou como construir o heptadecágono regular (17 lados) com régua e compasso. Essa era descoberta de que Gauss mais se orgulhava.

Em sua grande obra “Disquisitiones Arithmeticae” ele foi além, concluindo que para que um polígono regular seja construtível é suficiente que o número N de lados seja o produto de uma potência de 2 por números primos de Fermat distintos. Ele também afirmou que essa condição seria suficiente, mas isso só foi provado pelo francês Pierre Wantzel em 1837.

Pierre de Fermat calculou os números da forma 1 mais 2 elevado a 2ⁿ para os valores de n de 0 a 4, constatou que se trata de números primos e acreditou que isso seria verdade para todos os valores de n. Mas, alguns anos depois, Leonhard Euler apontou que o número de Fermat com n=5 não é primo e, ironicamente, até hoje ninguém encontrou mais nenhum, além dos cinco originais descobertos pelo próprio.

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