29/01/2025

Folha: ‘Uma prova matemática surpreendente’

Túmulo de Roger Apéry – Domínio público

Reprodução da coluna de Marcelo Viana na Folha de S. Paulo.

Em 1650, Pietro Mengoli (1626–1686) defendeu na Universidade de Bolonha uma tese intitulada “Novas quadraturas matemáticas ou adição de frações” (em latim). Nela, provou que a soma 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+… dos inversos dos inteiros positivos é infinita. O argumento dele é ensinado até hoje nas aulas de cálculo.

Mengoli também provou que a soma 1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+… dos inversos dos quadrados dos inteiros é finita, e perguntou qual seria o seu valor. Durante mais de um século, essa questão desafiou os melhores matemáticos da Europa, inclusive os irmãos Jacob e Johann Bernoulli. Acabou ficando conhecida como Problema da Basileia, em referência à cidade suíça onde os Bernoulli moravam.

O problema só foi resolvido em 1735 por Leonhard Euler (1707–1783), que também era da Basileia e estudara com Johann Bernoulli, mas se mudara para São Petersburgo, a capital do império russo. Em trabalho apresentado à Academia de Ciências da Rússia, Euler provou que a soma 1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+… é igual π²/6.

Este sucesso o levou a estudar a expressão ς(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/4^s+1/5^s+…, que hoje é conhecida como função ς (zeta) de Euler–Rieman, para outros valores do expoente s. Euler percebeu que a função ς está relacionada com os números primos, inclusive usou-a para provar que a soma 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+… dos inversos dos primos é infinita. Em particular, concluiu, a quantidade de números primos tem que ser infinita (Euclides já sabia disso, mas a prova do Euler é a minha favorita!).

Euler também provou que ς(s) é um número irracional, ou seja, não é uma fração de números inteiros, sempre que s é um inteiro par. Surpreendentemente, o caso ímpar é bem mais difícil, e permaneceu sem solução durante mais de duzentos anos.

Assim, foi com muito ceticismo que, em 1978, a comunidade matemática internacional recebeu o anúncio de que o francês Roger Apéry (1916–1994) teria provado que ς(3)=1/1³+1/2³+1/3³+1/4³+1/5³+… é um número irracional.

O ceticismo (saudável!) da comunidade não tinha só que ver com o fato de se tratar de um problema antigo e muito difícil, ele também estava ligado à própria prova de Apéry. Sempre que buscamos provar um fato matemático é crucial escolher uma estratégia, um caminho lógico formado por passos intermediários que tenham boas chances de serem verdadeiros e que, na sequência correta, levem ao resultado pretendido.

Ora, no caso da estratégia de Apéry muitos desses passos intermediários eram fórmulas totalmente surpreendentes, pareciam caídas do céu: até hoje não sabemos como e por que ele intuiu que elas seriam verdadeiras. Bastaria que uma fosse falsa para a prova colapsar!

Mas resulta que todas essas fórmulas estavam corretas e os céticos foram se convencendo da prova. Na sepultura de Apéry, no cemitério Père Lachaise, em Paris, uma inscrição matemática assinala a façanha: 1+1/8+1/27+1/64… ≠ p/q.

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