Como a trigonometria está por trás da navegação por GPS

Imagem: Freepik

Reprodução da coluna de Marcelo Viana, na Folha de S.Paulo

Ao final do século 18, a França adotou como medida oficial de comprimento o “metro”, definido como 1/40.000.000 do comprimento do meridiano de Paris. O problema é que é impossível medir um meridiano diretamente. A solução foi escolher duas cidades sobre o meridiano de Paris, Dunquerque e Barcelona, e medir a distância e a diferença de latitude entre elas: a partir daí, o comprimento do meridiano pode ser obtido usando uma regra de três.

Mas a tarefa continuava complicada, pois a distância entre essas cidades é de mais de 1 mil km… Até os anos 1980, distâncias entre pontos na superfície da Terra –possivelmente separados por montanhas, lagos etc– eram calculadas usando o método de triangulação, baseado na trigonometria. 

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A ideia é a seguinte: começamos com dois pontos, A e B, tais que a distância entre eles é conhecida. Dado outro ponto, C, visível a partir de ambos, procedemos da seguinte forma: no ponto A, medimos o ângulo entre as direções AB e AC, e no ponto B medimos o ângulo entre as direções AB e BC. Isso é feito usando uma espécie de luneta, chamada teodolito. Com essas informações, usando funções trigonométricas, é possível calcular as distâncias entre A e C e entre B e C. Depois, podemos calcular as distâncias de A e C (ou B e C) a outro ponto D, e assim sucessivamente.

Este método permitiu que os astrônomos Jean-Baptiste Delambre (1749 – 1822) e Pierre Méchain (1744 – 1804) medissem com precisão a distância de Dunquerque a Barcelona, entre 1792 e 1799. A partir desses resultados, foi dada a primeira definição oficial do metro.

Mas o uso da trigonometria na cartografia começara antes. Na França, esteve muito ligada à família Cassini, uma das dinastias mais notáveis da história da ciência. Nos anos 1670, o astrônomo real Giovanni Domenico Cassini (1625 – 1712) dera início a um projeto de mapear toda a França. Juntamente com o filho, Jacques Cassini (1677 – 1756), concluiu em 1718 a primeira medição da distância de Dunquerque a Barcelona, que seria usada para construir protótipos provisórios do metro, enquanto se aguardava Delambre e Méchain terminarem seu trabalho.

O filho de Jacques, César-François Cassini (1714 – 1784), partiu do trabalho do pai e avô para obter a primeira triangulação completa do território francês. Seu filho, Jean-Dominique Cassini (1748 – 1845) – bisneto de Giovanni Domenico, que dera origem à dinastia no século anterior –, refinou e concluiu o trabalho do pai. O mapa Cassini, publicado pelos dois entre 1744 e 1793, estabeleceu o padrão da cartografia científica. 

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