Probabilidade (eBook)
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Público-alvo
Ensino Superior
Nome: Probabilidade (eBook)
Autor(es): Leonardo T. Rolla e Bernardo N. B. de Lima
Páginas: 445
Publicação: IMPA, 2026
ISBN: 978-85-244-0572-3
Edição: 1
1 Espaços de Probabilidade
1.1 Alguns modelos probabilísticos
1.1.1 Espaço amostral
1.1.2 Eventos aleatórios
1.1.3 Medida de probabilidade
1.2 Contagem e simetria
1.3 Formulação axiomática de Kolmogorov
1.4 Espaços de medida
1.4.1 σ-álgebras e conjuntos borelianos
1.4.2 Medidas
1.5 Exercícios
2 Probabilidade Condicional e Independência
2.1 Probabilidade condicional
2.1.1 Regra do Produto
2.1.2 Lei da Probabilidade Total
2.1.3 Fórmula de Bayes
2.2 Independência
2.3 Exercícios
3 Variáveis Aleatórias
3.1 Variáveis aleatórias
3.1.1 Espaço induzido e lei de uma variável aleatória
3.1.2 Função de distribuição
3.1.3 Função quantil
3.2 Variáveis aleatórias discretas
3.3 Variáveis aleatórias absolutamente contínuas
3.4 Distribuição condicional dado um evento
3.5 Distribuições mistas e singulares
3.6 Existência e unicidade de distribuições
3.7 Funções mensuráveis
3.8 Exercícios
4 Vetores Aleatórios
4.1 Vetores aleatórios
4.2 Vetores aleatórios discretos e contínuos
4.3 Soma de variáveis independentes
4.4 Método do jacobiano
4.5 Sequência de variáveis independentes
4.6 Exercícios
5 Esperança Matemática
5.1 Variáveis aleatórias simples
5.2 Esperança matemática
5.3 Aproximação e convergência da esperança
5.3.1 Teorema da Convergência Monótona
5.3.2 Teorema da Convergência Dominada
5.4 Esperança condicional dado um evento
5.5 Integral de Lebesgue
5.5.1 Construção
5.5.2 Principais propriedades
5.5.3 Convergência
5.5.4 Integral de Riemann e integral imprópria
5.5.5 Densidade de medidas
5.5.6 Espaços produto e integrais iteradas
5.6 Exercícios
6 Momentos e Desigualdades
6.1 Momentos e variância
6.2 Correlação
6.3 Desigualdades básicas
6.4 Exercícios
7 Convergência de Variáveis Aleatórias
7.1 Modos de convergência
7.2 Lema de Borel-Cantelli
7.3 Relações entre os modos de convergência
7.4 Mais sobre a convergência em distribuição
7.5 Exercícios
8 Lei dos Grandes Números
8.1 Lei Fraca dos Grandes Números
8.2 Lei Forte dos Grandes Números
8.3 Leis Fortes de Kolmogorov
8.4 Algumas aplicações
8.5 Exercícios
9 Teorema do Limite Central
9.1 Teorema do Limite Central
9.2 Teorema de De Moivre-Laplace
9.3 Teorema do Limite Central de Lyapunov
9.4 Teorema do Limite Central de Lindeberg
9.5 Teorema de Slutsky e Método Delta
9.6 Exercícios
10 Transformadas
10.1 Função geradora de momentos
10.2 Função característica
10.3 Unicidade e convergência
10.4 Fórmula de inversão
10.5 Exercícios
11 Esperança Condicional
11.1 Esperança condicional dada uma partição
11.2 Função de probabilidade condicional
11.3 Densidade condicional
11.4 Esperança condicional dada uma σ-álgebra
11.5 Teorema de Radon-Nikodým
11.6 Distribuição condicional regular
11.7 Exercícios
12 Martingales
12.1 Definições e exemplos
12.2 Tempos de parada
12.3 Amostragem opcional
12.4 Convergência quase certa de martingales
12.5 Convergência de martingales em Lp
12.6 Decomposição de Doob
12.7 Exercícios
13 Leis 0-1 e Séries Aleatórias
13.1 Álgebras e espaços de sequências
13.2 Independência de σ-álgebras
13.3 Lei 0-1 de Kolmogorov
13.4 Lei 0-1 de Hewitt-Savage
13.5 Convergência de séries aleatórias
13.6 Exercícios
14 Teoria Ergódica
14.1 Transformações que preservam medida
14.2 Teorema Ergódico de Birkhoff
14.3 Transformações ergódicas e misturadoras
14.4 Rotação do círculo
14.5 Teorema Ergódico de von Neumann
14.6 Exercícios
15 Grandes Desvios
15.1 Desigualdade de concentração
15.2 Princípio dos Grandes Desvios
15.3 Demonstração do Teorema de Cramér
A Preliminares
A.1 Cálculo
A.2 Expansão de Taylor
A.3 Análise Real
B Fórmula de Stirling
C A Reta Real e o Infinito
C.1 Reta estendida
C.2 Supremo e limite superior
D Elementos de Teoria da Medida
D.1 Teorema π-λ de Dynkin
D.2 Teorema de Extensão de Carathéodory
D.3 Operações com funções mensuráveis
D.4 Teoremas de Fubini e de Tonelli
D.5 Teorema de Radon-Nikodým
D.6 Distribuição condicional regular
D.7 Desigualdades de Hölder e de Minkowski
Bibliografia
Índice