Lições de Equações Diferenciais Ordinárias
Autores
Descrição
Este livro baseia-se nos cursos sobre Equações Diferenciais Ordinárias dadas pelo autor em 1971 e 1973 no Instituto de Matemática Pura e Aplicada, para alunos de pós-graduação
orientados para o Mestrado em Matemática.
Desenvolvemos aqui a Teoria das Equações Diferenciais Ordinárias, isto é, o estudo das propriedades gerais das funções que são soluções deste tipo de equações, a partir
de hipóteses amplas sobre as funções que as definem, usando os recursos da Análise Matemática Clássica e da Álgebra Linear, sem recorrer necessariamente à forma particular
das equações.
A matéria apresentada não difere essencialmente daquela desenvolvida em vários tratados clássicos ou modernos, mormente em língua estrangeira. Registramos aqui nosso
reconhecimento pela influência recebida destes, e especialmente mencionamos Coddington e Levinson (1955), Hartman (1964) e Pontryagin (1962).
O livro está dividido em quatro partes basicamente autossuficientes: Fundamentos, Equações Lineares, Teoria Qualitativa e Estabilidade Estrutural. Um quadro de interdependência entre os capítulos permite atalhos diretos para vários tópicos, sem seguir necessariamente a ordem em que estão apresentados no texto. Isto é, conseguido ao custo de uma certa repetição dos fundamentos da Teoria, em diversas versões, que, a nosso ver, se complementam para dar uma visão mais ampla dos métodos disponíveis. O conteúdo dos capítulos é ditado por uma inevitável escolha dentro do vasto universo das Equações Diferenciais. Acreditamos entretanto ter abordado os elementos da maior parte dos assuntos surgidos ou sistematizados a partir do grande movimento de fundamentação e expansão que experimentou a Teoria no século XIX e que ainda na atualidade, sob variadas formas, são objeto de pesquisa ou usados nas aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias.
O texto apresenta mais material do que poderia ser razoavelmente coberto no curso de um período letivo, sendo indispensável neste caso uma escolha criteriosa de tópicos para uma primeira leitura. O texto central é complementado com diversos apêndices, nos quais desenvolvemos aspectos importantes da Teoria mas tecnicamente mais elaborados ou diferentes no enfoque, cuja introdução no texto quebraria a continuidade de ideias e métodos elementares que neste predominam.
Público-alvo
Ensino Superior
Nome: Lições de Equações Diferenciais Ordinárias
Autor(es): e Jorge Sotomayor
Páginas: 424
Publicação: IMPA, 2025
ISBN: 978-85-244-0597-6
Edição: 2ª
Prefácio
Introdução
I Fundamentos
1 Existência e unicidade de soluções
1.1 Preliminares
1.2 O problema de Cauchy
1.3 Exemplos
1.4 Teoremas de Picard e de Peano
1.5 Soluções máximas
1.6 Sistemas e equações diferenciais de ordem superior
Exercícios
2 Dependência das soluções em relação às condições iniciais e parâmetros
2.1 Preliminares
2.2 Continuidade
2.3 Diferenciabilidade
Exercícios
II Equações Lineares
3 Equações diferenciais lineares
3.1 Preliminares
3.2 Propriedades gerais
3.3 Equações lineares com coeficientes constantes
3.4 Sistemas bidimensionais simples
3.5 Conjugação de sistemas lineares
3.6 Classificação dos sistemas lineares hiperbólicos
3.7 Sistemas lineares complexos
3.8 Oscilações mecânicas e elétricas
Exercícios
4 Elementos da Teoria de Sturm–Liouville e Problemas de Contorno
4.1 Os Teoremas de Sturm
4.2 Problemas de Sturm–Liouville
4.3 Existência de autovalores
4.4 O problema da corda vibrante
4.5 Expansão em séries de autofunções
Apêndice: O Teorema Espectral
Exercícios
5 Equações lineares no campo complexo
5.1 Pontos singulares de um sistema linear
5.2 Pontos singulares simples
5.3 Soluções formais em pontos singulares simples
5.4 Matrizes fundamentais em um ponto singular simples
5.5 A equação de ordem n
5.6 Equações Fuchsianas de segunda ordem
5.7 O método de Frobenius
5.8 A equação Hipergeométrica
5.9 A equação de Bessel
5.10 Funções de Bessel e a equação da membrana oscilante
Exercícios
III Teoria Qualitativa
6 Teoria qualitativa das EDOs: aspectos gerais
6.1 Campos vetoriais e fluxos
6.2 Diferenciabilidade dos fluxos de campos vetoriais
6.3 Retrato de fase de um campo vetorial
6.4 Equivalência e conjugação de campos vetoriais
6.5 Estrutura local dos pontos singulares hiperbólicos
6.6 Estrutura local de órbitas periódicas
6.6.1 A transformação de Poincaré
6.6.2 Ciclos limite no plano
6.6.3 Derivada da transformação de Poincaré
6.7 Fluxos lineares no toro
Exercícios
7 Teorema de Poincaré–Bendixson
7.1 Conjuntos –limite e !–limite de uma órbita
7.2 O Teorema de Poincaré–Bendixson
7.3 Pontos singulares no interior de uma órbita periódica
7.4 As equações de Liénard e van der Pol
Exercícios
8 Estabilidade no sentido de Liapounov
8.1 Estabilidade de Liapounov
8.2 O Critério de Liapounov
8.3 Teorema de Chetaev
Exercícios
9 Estrutura local dos pontos singulares e órbitas periódicas hiperbólicas
9.1 Preliminares
9.2 Teorema de Hartman para difeomorfismos e órbitas periódicas hiperbólicas
9.3 Teorema de Hartman em espaços de Banach
9.4 Teorema de Hartman para campos vetoriais e fluxos
9.5 Teorema de Hartman: Caso local para difeomorfismos
9.6 Teorema de Hartman: Caso local para campos vetoriais
9.7 Variedades invariantes
Apêndice: Diferenciabilidade das variedades invariantes de pontos hiperbólicos
Exercícios
10 Teoria de Poincaré–Bendixson em superfícies
10.1 Número de rotação
10.2 Teorema de Schwartz
Exercícios
IV Estabilidade Estrutural
11 Estabilidade estrutural
11.1 Conceitos preliminares
11.2 A classe r (M) dos campos estruturalmente estáveis
11.3 Abertura e densidade dos campos estruturalmente estáveis
11.3.1 Abertura de r (M)
11.3.2 Equivalência topológica dos campos estruturalmente estáveis
11.3.3 Densidade de r (M)
11.3.4 Caracterização dos campos estruturalmente estáveis
11.3.5 Conclusão
Exercícios
r (M) dos campos estruturalmente estáveis12 Bifurcações
12.1 Introdução
12.2 Estabilidade estrutural de primeira ordem e bifurcações
12.3 Demonstração dos resultados principais
12.3.1 Demonstração dos Teoremas 12.11 e 12.13
12.3.2 Estrutura laminar de r 1 e acumulação
12.3.3 Caminhos transversais a r 1 e estabilidade estrutural
Exercícios
A Análise Matemática
Bibliografia
Índice de Autores
Glossário de Notações
Índice Remissivo