Funções de Uma Variável Complexa
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Descrição
Desde a sua criação, em fins do século XVIII, a teoria de funções de variáveis complexas, tem-se mostrado uma das mais profícuas no contexto global da Matemática. Através dela foi possível, por exemplo, compreender melhor as funções definidas por séries de potencias, estabelecer relações importantes entre as funções elementares, dar sentido à afirmação “Toda equação polinomial possui ao menos uma solução” entre outras realizações igualmente importantes.
Neste livro, de carácter elementar, o autor pretende introduzir alguns dos aspectos básicos da teoria, necessários à compreensão de aspectos mais avançados. Destina-se a alunos de graduação, mestrado de todas as disciplinas que se utilizam da Matemática como ferramenta essencial. Os assuntos são ordenados de maneira crescente de dificuldades, abordando-os da maneira mais elementar possível, pressupondo do leitor apenas um bom conhecimento de cálculo, Topologia do Rn e noções de convergência em espaços de funções (convergência uniforme).
Nome: Funções de Uma Variável Complexa
Autor(es): e Alcides Lins Neto
Páginas: 468
Publicação: IMPA, 2016
ISBN: 978-85-244-0423-8
Edição: 3
1 O Corpo dos Números Complexos
1 Números Complexos
1.1 O conjunto dos números complexos como um corpo
1.2 Representação cartesiana e representação polar
1.3 Distância e desigualdades fundamentais
1.4 Limites de sequências
1.5 Limites infinitos
1.6 Noções fundamentais da topologia de C
1.7 Limites de funções
2 Séries de números complexos
2.1 Critério de Cauchy
2.2 Reordenação de Séries
2.3 Famílias somáveis e séries duplas
3 Espaços de Funções Contínuas
3.1 Convergência uniforme
3.2 Convergência uniforme em compactos
2 Funções Analíticas
1 Funções holomorfas
1.1 Derivada real
1.2 Derivada complexa, funções holomorfas
1.3 Aplicações conformes
1.4 O teorema da função inversa
2 Séries de Potências
2.1 Funções definidas por séries de potências
2.2 Operações com séries de potências
3 Exponencial e Logaritmo
3.1 A função exponencial
3.2 O logaritmo complexo
3.3 Raízes e potências generalizadas
3.4 Funções trigonométricas complexas
4 Funções analíticas de uma variável complexa
4.1 Definição e exemplos
4.2 Zeros de uma função analítica
4.3 O anel das funções analíticas
3 Integração no plano complexo
1 Formas diferenciais
1.1 Definição e exemplos
1.2 Integração de formas diferenciais em caminhos
1.3 Integração de 1-formas exatas e fechadas
1.4 Integração de formas fechadas ao longo de caminhos contínuos
2 Homotopia e Integração
2.1 Homotopia
2.2 Integração de formas fechadas ao longo de caminhos homotópicos
2.3 Índice de um caminho fechado
3 Os teoremas de Jordan e de Green
3.1 Regiões limitadas por curvas de Jordan
3.2 O Teorema de Green
4 Teoria de Cauchy
1 O Teorema de Cauchy-Goursat
2 Fórmula integral de Cauchy e aplicações
2.1 Fórmula integral de Cauchy
2.2 Analiticidade das funções holomorfas
2.3 O Teorema do módulo máximo
2.4 O princípio da reflexão de Schwarz
3 Séries de Laurent
3.1 Funções analíticas num anel
3.2 Singularidades isoladas de funções analíticas
4 Teoria dos Resíduos
4.1 Definição e exemplos
4.2 O teorema dos resíduos
4.3 Polos e zeros de funções meromorfas
4.4 Cálculo de integrais definidas
5 A esfera de Riemann
5.1 Construções da esfera de Riemann
5.2 Funções holomorfas da esfera de Riemann
5.3 Formas diferenciais e o teorema dos resíduos em C
5.4 Funções racionais
5 Sequências, Séries e Produtos de Funções Holomorfas e Meromorfas
1 Os espaços de funções holomorfas e meromorfas
1.1 A topologia da convergência uniforme nas partes compactas
1.2 Sequências de funções meromorfas
1.3 Séries de funções meromorfas
2 Famílias normais de funções holomorfas e meromorfas
2.1 O Teorema de Aezelá-Ascoli
2.2 Famílias normais de funções holomorfas
2.3 Famílias normais de funções meromorfas
3 Funções duplamente periódicas
3.1 Períodos de uma função meromorfa
3.2 Funções duplamente periódicas
3.3 A função P de Weierstrass
4 Produtos infinitos e o teorema de Weierstrass
4.1 Produtos infinitos numéricos
4.2 Produtos infinitos de funções holomorfas
4.3 O Teorema de Fatoração de Weierstrass
5 As funções Gama e Zeta
5.1 A função Gama
5.2 A função Zeta de Riemann
6 Aproximação de funções analíticas por funções racionais
6.1 O Teorema de Runge
6.2 O Teorema de Mittag-Leffler
6 O Teorema de Uniformização de Riemann
1 Equivalências conformes
1.1 Notações e propriedades elementares
1.2 Exemplos
2 Automorfimos de C e do disco unitário
2.1 Algumas propriedades das homografias
2.2 A razão cruzada
2.3 Automorfismos holomorfos do disco unitário
2.4 Automorfismos anti-holomorfos de C
3 O teorema de Riemann
3.1 Demonstração do Teorema de Riemann
3.2 Classificação dos subconjuntos abertos simplesmente conexos de C
3.3 Uma caracterização dos abertos simplesmente conexos de C
3.4 Prova do Lema 1
Referências
Índice Alfabético