Equações Diferenciais Ordinárias
Autores
Descrição
O livro oferece uma introdução moderna e aprofundada às equações diferenciais ordinárias, combinando análise qualitativa e numérica das soluções, seguindo a visão de Poincaré para o campo, há mais de um século. Considerando o extraordinário desenvolvimento dos sistemas dinâmicos desde então, o livro apresenta os tópicos centrais que todo jovem matemático, seja da área pura ou aplicada, deve conhecer. A abordagem é sempre dinâmica: as questões motivadoras, o estilo de exposição e as técnicas de prova são todos guiados por essa perspectiva.
O texto está estruturado em seis ciclos. O primeiro aborda as questões fundamentais de existência e unicidade das soluções. O segundo apresenta as ferramentas básicas, teóricas e práticas, necessárias para lidar com problemas concretos. O terceiro trata da teoria linear, tanto autônoma quanto não autônoma. A teoria da estabilidade de Lyapunov constitui o quarto ciclo. O quinto examina a teoria local, incluindo o teorema de Grobman–Hartman e o teorema da variedade estável. Por fim, o sexto ciclo explora questões globais no contexto mais amplo das equações diferenciais em variedades, culminando no teorema do índice de Poincaré–Hopf.
A obra pode ser usada tanto em cursos de graduação ou pós-graduação, ou ainda para estudo individual. Como pré-requisito, é desejável que o leitor tenha conhecimentos básicos de topologia geral, álgebra linear e análise em nível de graduação. Ao final de cada capítulo, há um experimento computacional, uma lista variada de exercícios e notas detalhadas, históricas, biográficas e bibliográficas, que ajudam o leitor a compreender melhor como essas ideias se desenvolveram ao longo do tempo.
Público-alvo
Ensino Superior
Nome: Equações Diferenciais Ordinárias
Autor(es): Marcelo Viana e José M. Espinar
Páginas: 548
Publicação: IMPA, 2025
ISBN: 978-85-244-0513-6
Edição: 1ª
1 Introdução
1.1 Equações diferenciais e suas soluções
1.2 Teoria qualitativa das equações diferenciais
1.3 Análise numérica de equações diferenciais
1.4 Experimento: dinâmica de populações
1.5 Exercícios
1.6 Notas
2 Soluções locais
2.1 Teorema de Existência e Unicidade de Picard
2.1.1 Pontos fixos de contrações
2.1.2 Demonstração do Teorema 2.4
2.1.3 Estimativas do intervalo de definição
2.2 Teorema de Existência de Peano
2.2.1 Aproximação por funções diferenciáveis
2.2.2 Equicontinuidade
2.2.3 Conclusão da demonstração
2.3 Teorema de Dependência Contínua
2.3.1 Dependência contínua do parâmetro
2.3.2 Teorema de Dependência Contínua
2.4 Teorema de Dependência Diferenciável
2.4.1 Lema de Hadamard
2.4.2 Diferenciabilidade C1
2.4.3 Demonstração do Teorema 2.23
2.4.4 Teorema de Dependência Diferenciável
2.5 Generalizações
2.5.1 Equações de ordem superior
2.5.2 Equações diferenciais parciais 2.6 Experimento: método de Picard
2.7 Exercícios
2.8 Notas
3 Soluções maximais
3.1 Existência e unicidade
3.2 Comportamento nos extremos
3.3 Equações globalmente lipschitzianas
3.3.1 Lema de Gronwall
3.3.2 Demonstração do Teorema 3.9
3.4 Teorema de Dependência Contínua (global)
3.4.1 Dependência contínua do parâmetro
3.4.2 Teorema de Dependência Contínua
3.5 Teorema de Dependência Diferenciável (global)
3.6 Experimento: continuação de soluções
3.7 Exercícios
3.8 Notas
4 Integração numérica
4.1 Método de Euler
4.1.1 Formulação
4.1.2 Estimativas de erro
4.2 Métodos de Runge–Kutta
4.2.1 Método de Heun
4.2.2 A família de Runge–Kutta
4.2.3 Dimensões superiores
4.3 Convergência de métodos unipasso
4.3.1 Convergência e consistência
4.3.2 Estabilidade
4.4 Métodos de Adams
4.4.1 Métodos de Adams–Bashforth
4.4.2 Métodos de Adams–Moulton
4.5 Convergência de métodos multipasso
4.5.1 Convergência, consistência e estabilidade
4.5.2 Precisão dos métodos de Adams
4.6 Rigidez
4.6.1 O que é rigidez?
4.6.2 Métodos implícitos
4.7 Experimento: curvas de nível
4.8 Exercícios
4.9 Notas
5 Equações autônomas
5.1 Fluxo de uma equação autônoma
5.1.1 Trajetórias regulares, periódicas e estacionárias
5.1.2 Equações completas
5.1.3 Equações não autônomas ou de ordem superior
5.2 Teorema do Fluxo Tubular
5.3 Transformações de Poincaré
5.3.1 Existência e diferenciabilidade
5.3.2 Trajetórias periódicas
5.4 Conjugação e equivalência de fluxos
5.5 Teorema de Recorrência de Poincaré
5.6 Experimento: circuitos elétricos
5.7 Exercícios
5.8 Notas
6 Equações lineares autônomas
6.1 Exponencial de uma aplicação linear
6.2 Cálculo da exponencial
6.2.1 Aplicações nilpotentes
6.2.2 Aplicações diagonalizáveis
6.2.3 Forma Canônica de Jordan – caso real
6.2.4 Aplicações quase diagonalizáveis
6.2.5 Forma Canônica de Jordan – caso complexo
6.3 O caso bidimensional
6.3.1 A tem dois autovalores reais distintos
6.3.2 A tem um único autovalor real
6.3.3 A não tem autovalores reais
6.4 Conjugação diferenciável de fluxos lineares
6.5 Classificação topológica dos fluxos hiperbólicos
6.5.1 Atratores e repulsores lineares hiperbólicos
6.5.2 Teorema de classificação topológica
6.6 Experimento: instabilidade aerodinâmica
6.7 Exercícios
6.8 Notas
7 Equações lineares não autônomas
7.1 Espaço de soluções da equação homogênea
7.2 Soluções fundamentais da equação homogênea
7.3 Fórmula de Liouville–Ostrogradsky
7.3.1 Aplicação a equações autônomas não lineares
7.3.2 Aplicação a equações lineares de ordem superior – wronskiano
7.4 Espaço de soluções da equação não homogênea
7.5 Teorema de Floquet
7.5.1 Logaritmos de aplicações lineares
7.6 Experimento: ressonância
7.7 Exercícios
7.8 Notas
8 Estabilidade de Lyapunov
8.1 Equações autônomas: estabilidade linear
8.1.1 Equações lineares
8.1.2 Equações quase lineares
8.2 Equações autônomas: funções de Lyapunov
8.2.1 Teorema de Estabilidade de Lyapunov
8.2.2 Teorema do Conjunto Invariante
8.3 Análise de Lyapunov de equações não autônomas
8.3.1 Estabilidade uniforme
8.3.2 Funções de Lyapunov
8.3.3 Comentários adicionais
8.4 Estabilidade linear e expoentes de Lyapunov
8.4.1 Equações lineares
8.4.2 Equações quase lineares
8.4.3 Expoentes de Lyapunov
8.5 Experimento: maior expoente de Lyapunov
8.6 Exercícios
8.7 Notas
9 Teorema de Grobman–Hartman
9.1 Pontos estacionários hiperbólicos
9.1.1 Pontos estacionários simples
9.1.2 Pontos estacionários hiperbólicos
9.2 Teorema de Grobman–Hartman para fluxos
9.3 Demonstração do Teorema de Grobman–Hartman
9.3.1 Globalização da dinâmica
9.3.2 Tempo discreto
9.3.3 Conclusão da demonstração
9.4 Teorema de Grobman–Hartman para difeomorfismos
9.5 Conjugação diferenciável
9.6 Experimento: método balístico
9.7 Exercícios
9.8 Notas
10 Teorema da Variedade Estável
10.1 Variedades estáveis e instáveis locais
10.2 Teorema da Variedade Estável
10.3 Demonstração do Teorema da Variedade Estável
10.3.1 Transformação de gráfico
10.3.2 Diferenciabilidade C1
10.3.3 Diferenciabilidade Ck
10.3.4 Conclusão
10.4 Trajetórias periódicas hiperbólicas
10.5 Experimento: sistemas planetários
10.6 Exercícios
10.7 Notas
11 Campos de vetores em superfícies
11.1 Conjuntos –limite e !–limite
11.2 Teorema de Poincaré–Bendixson
11.2.1 Consequências do Teorema da Curva Fechada
11.2.2 Conclusão da demonstração
11.2.3 Equação de van der Pol
11.3 Conjuntos limite de fluxos em superfícies
11.3.1 Equações diferenciais em variedades
11.3.2 Teorema de Poincaré–Bendixson na esfera
11.3.3 Conjuntos minimais
11.4 Teorema de Mayer sobre fluxos conservativos
11.4.1 Medida transversal invariante
11.4.2 Domínios das transformações de Poincaré
11.4.3 Estabilidade e componentes periódicas
11.4.4 Recorrência e componentes minimais
11.4.5 Conclusão da demonstração do Teorema 11.21
11.5 Comentários sobre estabilidade estrutural
11.6 Experimento: atrator de Lorenz
11.7 Exercícios
11.8 Notas
12 Teorema de Poincaré–Hopf
12.1 Índice de um ponto estacionário
12.1.1 Número de voltas em torno de um ponto
12.1.2 Campos de vetores no plano
12.1.3 Campos de vetores em superfícies
12.1.4 Índice em dimensões superiores
12.2 Característica de Euler
12.2.1 Poliedros
12.2.2 Superfícies
12.3 Índices e curvatura
12.4 Demonstração do teorema
12.5 Comentários sobre o Teorema de Mayer
12.6 Experimento: ciclo oxigênio–ozônio
12.7 Exercícios
12.8 Notas
A Espaços métricos e variedades
A.1 Espaços métricos e sequências
A.2 Aplicações contínuas
A.3 Variedades e aplicações diferenciáveis
A.4 Espaço tangente e aplicação derivada
A.5 Espaço cotangente e formas diferenciais
A.6 Transversalidade
A.7 Variedades riemannianas
A.8 Característica de Euler
A.9 Curvatura e formas de conexão
A.10 Notas
Bibliografia
Índice de Autores
Índice Remissivo