22º CBM - Cursos Avançados
Tratam de temas de pesquisa atual e destinam-se a alunos de doutorado e pesquisadores interessados. Visam, entre outras coisas, difundir linhas de pesquisa relevantes desenvolvidas no Brasil.
A.1. Global Minimizers of Autonomous Lagrangians
Gonzalo Contreras e Renato Iturriaga (CIMAT, México)
Resumo do Curso: A teoria clássica dos sistemas Lagrangianos e Hamiltonianos será exposta de maneira suscinta. A seguir, serão apresentadas as contribuções recentes de Mather e Mañé: Medidas minimizantes, funções alfa e beta de Mather, valores críticos de Mañé, potenciais de ação, órbitas globalmente minimizantes. Finalmente, serão apresentados avanços posteriores destas idéias e sua relação com a teoria de Fathi sobre soluções fracas KAM.
Pré-requisitos: Sistemas dinâmicos I, teoria ergódica.
A.2. Conjuntos de Cantor, Bifurcações Dinâmicas e Aproximações Diofantinas
Carlos Gustavo Moreira (IMPA)
Resumo do Curso: – Conjuntos de Cantor regulares, dimensões fractais e geometrias limite
– Lema de recorrência de escalas
– Genericidade de interseções estáveis de conjuntos de Cantor regulares cuja soma das dimensões de Hausdorff é maior que 1.
– Aplicações a bifurcações homoclínicas.
– Fórmula da dimensão da soma e diferença aritméicas de conjuntos de Cantor regulares não afins.
– Aplicações ao estudo de propriedades geométricas dos espectros de Markov e Lagrange,relacionados a aproximações diofantinas.
– Comentários sobre possíveis generalizações dos resultados para dimensões superiores.
A idéia do curso é discutir resultados recentes do expositor (alguns em colaboração com J.-Ch. Yoccoz) e suas aplicações a problemas de dinâmica e de teoria dos números.
Referências:
- Moreira,C.G.- Stable intersections of Cantor sets and homoclinic bifurcations- Annales de l’institut Henri Poincare’,Analyse Nonlineaire 13(1996),741-781
- Moreira,C.G e Yoccoz,J.-Ch.-Stable intersections of regular Cantor sets with large Hausdorff dimensions-preprint-IMPA-1998
- Moreira,C.G.-Geometric Properties of the Markov and Lagrange spectra -preprint
- Palis,J. e Takens,F-Hyperbolicity and sensitive chaotic dynamics at homoclinic bifurcations-Cambridge Studies in Advanced Mathematics-Cambridge University Press
Pré-requisitos: É conveniente alguma familiaridade com dinâmica hiperbólica e com frações contínuas e aproximações diofantinas na reta.
A.3. Tópicos em Matemática Quântica
Derek Hakon (PUC/RJ)
Nicolau Saldanha (PUC/RJ)
George Svetlichny (PUC/RJ)
Carlos Tomei (PUC/RJ)
Paulo Henrique Viana (PUC/RJ)
Resumo do Curso: A matemática quântica do titulo se refere a um conjunto de novas perspectivas que se infiltraram em várias áreas da matemática habitual. A grosso modo, ela acompanha uma tendência de algebarização e um emprego de argumentos diagramáticos. O curso oferece cinco exemplos destas situações em áreas diferentes: combinatória, sistemas completamente integráveis, matemática física, topologia e grupos quânticos.
Pré-requisitos: Álgebra linear, cálculo em várias variáveis, grupos, anéis e corpos e variável complexa.
A.4. A Fórmula de Kontsevich para Curvas Racionais Planas
Israel Vainsencher (UFPE)
Joachim Kock (UFPE)
Resumo do Curso: O objetivo deste curso é introduzir idéias e técnicas recentes que revolucionaram a geometria enumerativa: mapas estáveis e cohomologia quântica. O título se refere à solução de M. Kontsevich para o problema da contagem do número de curvas racionais de grau d que passam por 3d – 1 pontos. A resposta era desconhecida para grau 6. A já célebre fórmula recursiva expressa cada número em termos dos números para graus menores; um só valor inicial é necessário como base da recursão: por dois pontos passa uma única reta! Pressupondo a existência do espaço de moduli de transformações estáveis, cujas definições e propriedades básicas serão apresentadas, este curso se propõe a dar uma demonstração completa da fórmula de Kontsevich.
Pré-requisitos: Noções básicas em geometria algébrica: divisores, famílias, variedades de Grassmann, teoria de interseção elementar, ciclos e classes, módulo e equivalência racional.
A.5. An Introduction to Inverse Problems
Jorge Zubelli/ (IMPA)
Summary of the Course: Inverse Problem Theory is a fairly general phrase used to encompass a number of mathematical techniques associated to nonlinear problems that arise in PDEs. Typically one is concerned with obtaining information about the coefficients of an equation by using a restricted amount of information from its solutions. The main goal of this mini-course is to introduce the audience to examples of inverse problems and describe some of the interesting mathematical techniques that are used in their solution. The examples will be taken from geophysics and scattering theory. The mathematical techniques will involve integral transforms, such as the Radon transform and its generalizations.
Prerequisites: Functional Analysis and Spectral Theory. Familiarity with Numerical Analysis.
A.6. Weak solutions for the equations of incompressible and inviscid fluid dynamics
Milton Lopes (UNICAMP)
Helena N. Lopes (UNICAMP)
Y. Zheng (UNICAMP)
Resumo do Curso: O minicurso se destina a explorar, de forma sistemática e coerente, o estado da arte no estudo de soluções fracas das equações de Euler incompreensíveis em dimensoes dois e três. Daremos ênfase aos seguintes temas: Mecanismos para a formação de singularidades para as equacoes de Euler em 3D, dinâmica de contorno, dinâmica das folhas de vórtices, soluções fracas das equações de Euler em 2D, não-unicidade de soluções fracas. O tema deste minicurso tem sido objeto de intensa atividade recente. Dois aspectos relevantes da pesquisa recente que pretendemos explorar no minicurso são: uso de ferramentas analíticas sofisticadas e o sinergismo marcante entre física, análise rigorosa e computação científica.
Pré-requisitos: Teoria da medida, espaços de Sobolev, equações diferenciais ordinárias. Familiaridade com equações diferenciais parciais e um pouco de análise harmônica é desejável. Não se assume contato prévio com dinâmica dos fluidos.
