21º CBM - Cursos Elementares
Os temas destes cursos cobrem um espectro grande de áreas da matemática, inclusive temas bem modernos. São de nível de iniciação científica e não são normalmente oferecidos nos programas de graduação das universidades brasileiras. Destinam-se a alunos talentosos de graduação e mestrado. Visam despertar vocações e estimular o interesse dos participantes pela matemática.
E.1- Equações diferenciais em modelagem matemática e computacional
André Nachbin (IMPA)
Estebam Tabak (Courant Institute/New York Univ.)
Este curso foi preparado de forma a introduzir o aluno de graduação à questões de modelagem, tanto física quanto matemática. Os modelos matemáticos em questão serão equações diferenciais. O objetivo do curso é exercitar a passagem do modelo físico para um modelo matemático, e a discretização deste em um modelo numérico. O objetivo final é fazer uso do computador como um “laboratório matemático” e entender os fenômenos tanto de cunho físico/matemático como os gerados pelo modelo numérico. Serão apresentados programas e experimentos a serem executados com o MATLAB.
Pré-requisitos: Cálculo em várias variáveis e noções de álgebra linear.
Horário: diariamente das 14:00 às 15:00 hs
E.2. Wavelets: teoria, sofware e aplicações
Jonas Gomes (IMPA)
Luis Velho (IMPA)
Siome Goldstein (IMPA)
A teoria de wavelets apesar de relativamente recente já é utilizada de forma substancial em diversas áreas da ciência. Vem tambem assumindo um papel de fundamental importância em computação gráfica e processamento de imagens.
O uso de wavelets permite a implementação de técnicas computacionais eficientes para tratar de problemas relacionados com a análise e síntese de funções.O curso consiste de três partes, distintas porém tratadas de modo integrado:
1 – Conceitos básicos de wavelets;
2 – aspectos computacionais de wavelets;
3 – aplicações de wavelets.
As aplicações se concentrarão na área de computação gráfica e processamento de imagens.
O curso será ministrado de forma elementar, sem deixar de lado aspectos importantes. Desta forma será possível atingir um público heterogêneo sem perder o interesse de ouvintes mais avançados.
Pré-requisitos: O curso admite que o aluno possui conhecimentos básicos de análise real e álgebra linear. Em particular, serão utilizados no curso espaços de funções (principalmente o espaco L2 e transformada de Fourier).
Horário: diariamente das 9:45 às 10:45
E.3. Acoplamento em processos estocásticos e aplicações
Pablo Ferrari (IME/USP)
Antonio Galves (IME/USP)
O curso apresenta de maneira elementar uma série de ferramentas e resultados avançados não disponíveis em textos introdutórios. Por exemplo: a ferramenta central utilizada no curso é a noção de acoplamento.
O coeficiente de ergodicidade de Dobrushin é construido explicitamente através de acoplamento de onde segue diretamente o resultado de convergência para o equilíbrio. Discute-se também de maneira rigorosa e elementar a relação entre o coeficiente de ergodicidade de Dobrushin e o segundo autovalor associado à matriz de transição do processo.
Discute-se um poderoso resultado elementar, devido a Athreya e Ney, segundo o qual é possível definir um tempo de parada tal que a cadeia nesse tempo está distribuida de acordo com a medida invariante.
Demonstra-se o teorema chave para o processo de renovação discreto como aplicação do teorema de convergência de cadeias de Markov.
Apresenta-se e discute-se dinâmicas de Glauber, em particular o algoritmo de Metropolis e amostradores de Gibbs, que são ferramentas recentes utilizadas não só em processos estocásticos como também em estatística computacional e inferência Bayesiana. Também se falará da utilização desses modelos na simulação de distribuições de probabilidade não triviais.
Constroem-se estados de Gibbs unidimensionais como cadeias de Markov condicionadas. Relaciona-se essa construção com a noção de medida quase invariante.
Serão apresentados em forma elementar, como exemplos, vários sistemas Markovianos de partículas, o que é pouco habitual em textos introdutórios.
Pré-requisitos: curso elementar de probabilidade
Horário: diariamente das 8:30 às 9:30 hs
